Dominando o Método de Tensão de Nó para Análise Precisa de Circuitos

O método de tensão de nó de análise resolve para tensões incógnitas nos nós do circuito em termos de um sistema de equações KCL. Esta análise parece estranha porque envolve substituir fontes de tensão por fontes de corrente equivalentes. Além disso, valores de resistores em ohms são substituídos por condutâncias equivalentes em siemens, G = 1/R. O siemens (S) é a unidade de condutância, tendo substituído a unidade mho. De qualquer forma S = Ω⁻¹. E S = mho (obsoleto).

Método para Cálculo de Tensão de Nó

Começamos com um circuito tendo fontes de tensão convencionais. Um nó comum E₀ é escolhido como ponto de referência. As tensões de nó E₁ e E₂ são calculadas com respeito a este ponto.

Substituindo fontes de tensão e resistores de série associados por fontes de corrente equivalentes e resistores paralelos resulta no circuito modificado. Substitua condutâncias de resistores em siemens por resistência em ohms.

 
 I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
 I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
 G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0,5 S
 G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0,25 S
 G3 = 1/R3 = 1/2,5 Ω = 0,4 S
 G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0,2 S
 G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1,0 S

As condutâncias paralelas (resistores) podem ser combinadas pela adição das condutâncias. Embora, não redesenharemos o circuito. O circuito está pronto para a aplicação do método de tensão de nó.

 
 GA = G1 + G2 = 0,5 S + 0,25 S = 0,75 S
 GB = G4 + G5 = 0,2 S + 1 S = 1,2 S
 

Derivando um método geral de tensão de nó, escrevemos um par de equações KCL em termos de tensões de nó incógnitas V₁ e V₂ esta vez. Fazemos isso para ilustrar um padrão para escrever equações por inspeção.

 
 GAE1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
 GBE2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
 (GA + G3 )E1 -G3E2 = I1 (1)
 -G3E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2)
 

Os coeficientes do último par de equações acima foram reorganizados para mostrar um padrão. A soma de condutâncias conectadas ao primeiro nó é o coeficiente positivo da primeira tensão na equação (1). A soma de condutâncias conectadas ao segundo nó é o coeficiente positivo da segunda tensão na equação (2). Os outros coeficientes são negativos, representando condutâncias entre nós. Para ambas as equações, o lado direito é igual à respectiva fonte de corrente conectada ao nó. Este padrão nos permite escrever rapidamente as equações por inspeção. Isso leva a um conjunto de regras para o método de tensão de nó de análise.

Regras de Tensão de Nó:

• Converta fontes de tensão em série com um resistor para uma fonte de corrente equivalente com o resistor em paralelo.
• Mude valores de resistores para condutâncias.
• Selecione um nó de referência(E₀)
• Atribua tensões incógnitas (E₁)(E₂) ... (E_N)aos nós restantes.
• Escreva uma equação KCL para cada nó 1,2, ... N. O coeficiente positivo da primeira tensão na primeira equação é a soma de condutâncias conectadas ao nó. O coeficiente para a segunda tensão na segunda equação é a soma de condutâncias conectadas àquele nó. Repita para o coeficiente da terceira tensão, terceira equação, e outras equações. Estes coeficientes caem em uma diagonal.
• Todos os outros coeficientes para todas as equações são negativos, representando condutâncias entre nós. A primeira equação, o segundo coeficiente é a condutância do nó 1 para nó 2, o terceiro coeficiente é a condutância do nó 1 para nó 3. Preencha coeficientes negativos para outras equações.
• O lado direito das equações é a fonte de corrente conectada aos respectivos nós.
• Resolva o sistema de equações para tensões de nó incógnitas.

Exemplo do Método de Tensão de Nó

Exemplo: Configure as equações e resolva para as tensões de nó usando os valores numéricos na figura acima.

Solução:

 
 (0,5+0,25+0,4)E1 -(0,4)E2= 5 
 -(0,4)E1 +(0,4+0,2+1,0)E2 = -4
 (1,15)E1 -(0,4)E2= 5 
 -(0,4)E1 +(1,6)E2 = -4
 E1 = 3,8095
 E2 = -1,5476
 

A solução de duas equações pode ser realizada com uma calculadora, ou com um octave (não mostrado). A solução é verificada com SPICE baseado no diagrama esquemático original com fontes de tensão. Embora, o circuito com fontes de corrente poderia ter sido simulado.

 
 V1 11 0 DC 10
 V2 22 0 DC -4
 r1 11 1 2
 r2 1 0 4
 r3 1 2 2.5
 r4 2 0 5
 r5 2 22 1
 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1 
 .print DC V(1) V(2)
 .end

 v(1) v(2)
 3.809524e+00 -1.547619e+00
 

Mais um exemplo. Este tem três nós. Não listamos as condutâncias no diagrama esquemático. No entanto, G₁ = 1/R₁, etc.

Existem três nós para escrever equações por inspeção. Observe que os coeficientes são positivos para equação (1) E₁, equação (2) E₂ e equação (3) E₃. Estas são as somas de todas as condutâncias conectadas aos nós. Todos os outros coeficientes são negativos, representando uma condutância entre nós. O lado direito das equações é a fonte de corrente associada, 0,136092 A para a única fonte de corrente no nó 1. As outras equações são zero no lado direito por falta de fontes de corrente. Somos preguiçosos demais para calcular as condutâncias para os resistores no diagrama. Assim, os G subscritos são os coeficientes.

 (G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 = 0.136092
 -G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 = 0
 -G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 = 0

Somos tão preguiçosos que entramos resistências recíprocas e somas de resistências recíprocas na matriz "A" do octave, deixando o octave calcular a matriz de condutâncias após "A=". A linha de entrada inicial foi tão longa que foi dividida em três linhas. Isso é diferente dos exemplos anteriores. A matriz "A" inserida é delimitada por colchetes de abertura e fechamento. Elementos de coluna são separados por espaços. Linhas são separadas por "nova linha". Vírgulas e ponto e vírgula não são necessários como separadores. Embora, o vetor de corrente em "b" seja separado por ponto e vírgula para produzir um vetor coluna de correntes.

 
octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
 > -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
 > -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
 A =
 0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
 -0.0066667 0.0200000 -0.0100000
 -0.0200000 -0.0100000 0.0340000

 octave:13> b = [0.136092;0;0]
 b =
 0.13609
 0.00000
 0.00000

 octave:14> x=A\b
 x =
 24.000
 17.655
 19.310

Observe que os coeficientes diagonais da matriz "A" são positivos, Que todos os outros coeficientes são negativos.

A solução como um vetor de tensão está em "x". E₁ = 24,000 V, E₂ = 17,655 V, E₃ = 19,310 V. Estas três tensões comparam às soluções anteriores de corrente de malha e SPICE para o problema da ponte desbalanceada. Não é coincidência, pois a fonte de corrente de 0,13609 A foi propositalmente escolhida para produzir os 24 V usados como fonte de tensão naquele problema.

Resumo

• Dada uma rede de condutâncias e fontes de corrente, o método de tensão de nó de análise de circuitos resolve para tensões de nó incógnitas a partir de equações KCL.
• Veja as regras acima para detalhes na escrita das equações por inspeção.
• A unidade de condutância G é o siemens S. Condutância é o recíproco da resistência: G = 1/R

PLANILHAS RELACIONADAS:

• Planilha de Circuitos de Diodo Precisos
•  Planilha das Leis de Kirchhoff