Método e análise da corrente de malha

O Método da Corrente de Malha , também conhecido como Método de Loop Atual , é bastante semelhante ao método de corrente de ramificação, pois usa equações simultâneas, a lei de tensão de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar correntes desconhecidas em uma rede. É diferente do método Branch Current porque não use a Lei Atual de Kirchhoff e geralmente é capaz de resolver um circuito com menos variáveis ​​desconhecidas e menos equações simultâneas, o que é especialmente bom se você for forçado a resolver sem uma calculadora.

Corrente de malha, método convencional

Vamos ver como esse método funciona no mesmo exemplo de problema:

Identificar Loops

A primeira etapa no método de corrente de malha é identificar “loops” dentro do circuito que abrange todos os componentes. Em nosso circuito de exemplo, o loop formado por B ₁ , R ₁ e R ₂ será o primeiro enquanto o loop formado por B ₂ , R ₂ e R ₃ será o segundo. A parte mais estranha do método de corrente de malha é imaginar correntes circulantes em cada um dos loops. Na verdade, esse método recebe o nome da ideia dessas correntes se engrenando entre os loops como conjuntos de engrenagens giratórias:



A escolha da direção de cada corrente é inteiramente arbitrária, assim como no método de corrente de ramificação, mas as equações resultantes são mais fáceis de resolver se as correntes estão indo na mesma direção através de componentes de interseção (observe como as correntes I ₁ e eu ₂ estão ambos “subindo” através do resistor R ₂ , onde eles se "mesclam" ou se cruzam). Se a direção assumida de uma corrente de malha estiver errada, a resposta para essa corrente terá um valor negativo.

Identifique as polaridades da queda de tensão

A próxima etapa é rotular todas as polaridades de queda de tensão nos resistores de acordo com as direções assumidas das correntes de malha. Lembre-se de que a extremidade “a montante” de um resistor sempre será negativa, e a extremidade “a jusante” de um resistor positiva uma em relação à outra, uma vez que os elétrons são carregados negativamente. As polaridades da bateria, é claro, são ditadas por suas orientações de símbolo no diagrama e podem ou não "concordar" com as polaridades do resistor (direções de corrente assumidas):



Usando a Lei da Tensão de Kirchhoff, podemos agora contornar cada um desses loops, gerando equações representativas das quedas de tensão e polaridades dos componentes. Tal como acontece com o método de corrente de ramificação, denotaremos a queda de tensão de um resistor como o produto da resistência (em ohms) e sua respectiva corrente de malha (sendo essa quantidade desconhecida neste ponto). Onde duas correntes se combinam, escreveremos esse termo na equação com a corrente do resistor sendo a soma das duas correntes engrenadas.

Traçando a curva esquerda do circuito com equações

Traçando o loop esquerdo do circuito, começando do canto superior esquerdo e movendo no sentido anti-horário (a escolha dos pontos de partida e direções é irrelevante), contando a polaridade como se tivéssemos um voltímetro na mão, fio vermelho no ponto à frente e chumbo preto no ponto atrás, obtemos esta equação:



Observe que o termo do meio da equação usa a soma das correntes da malha I ₁ e eu ₂ como a corrente através do resistor R ₂ . Isso ocorre porque as correntes de malha I ₁ e eu ₂ estão indo na mesma direção através de R ₂ , e assim se complementam. Distribuindo o coeficiente de 2 para I ₁ e eu ₂ termos e, em seguida, combinando I ₁ termos na equação, podemos simplificar como tal:



Neste momento, temos uma equação com duas incógnitas. Para ser capaz de resolver duas correntes de malha desconhecidas, devemos ter duas equações. Se rastrearmos o outro loop do circuito, podemos obter outra equação KVL e ter dados suficientes para resolver as duas correntes. Criatura de hábito que sou, vou começar no canto superior esquerdo do loop direito e traçar no sentido anti-horário:



Simplificando a equação como antes, terminamos com:

Resolvendo o desconhecido

Agora, com duas equações, podemos usar um dos vários métodos para resolver matematicamente as correntes desconhecidas I ₁ e eu ₂ :

Redesenhar o circuito

Saber que essas soluções são valores para malha correntes, não ramificação correntes, devemos voltar ao nosso diagrama para ver como eles se encaixam para fornecer correntes por meio de todos os componentes:



A solução de -1 amp para I ₂ significa que inicialmente assumimos que a direção da corrente estava incorreta. Na verdade, eu ₂ está fluindo no sentido anti-horário em um valor de 1 ampere (positivo):



Esta mudança na direção da corrente do que foi inicialmente assumido irá alterar a polaridade das quedas de tensão em R ₂ e R ₃ devido ao I ₂ atual . A partir daqui, podemos dizer que a corrente até R ₁ é de 5 amperes, com queda de tensão em R ₁ sendo o produto da corrente e da resistência (E =IR), 20 volts (positivo à esquerda e negativo à direita).

Além disso, podemos dizer com segurança que a corrente até R ₃ é 1 ampere, com uma queda de tensão de 1 volt (E =IR), positiva à esquerda e negativa à direita. Mas o que está acontecendo em R ₂ ?

Corrente de malha I ₁ está indo “para baixo” em R ₂ , enquanto a malha atual I ₂ está indo “para cima” em R ₂ . Para determinar a corrente real através de R ₂ , devemos ver como as correntes de malha I ₁ e eu ₂ interagir (neste caso, eles estão em oposição) e adicioná-los algebricamente para chegar a um valor final. Desde que eu ₁ está diminuindo a 5 amperes e eu ₂ vai "para cima" em 1 amp, o real atual a R ₂ deve ser um valor de 4 amperes, indo “para baixo”:



Uma corrente de 4 amperes até R ₂ A resistência de 2 Ω nos dá uma queda de tensão de 8 volts (E =IR), positiva na parte superior e negativa na parte inferior.

Vantagem da análise de corrente de malha

A principal vantagem da análise de corrente de malha é que geralmente permite a solução de uma grande rede com menos valores desconhecidos e menos equações simultâneas. Nosso problema de exemplo levou três equações para resolver o método de corrente de ramificação e apenas duas equações usando o método de corrente de malha. Essa vantagem é muito maior à medida que as redes aumentam em complexidade:



Para resolver esta rede usando Branch Currents, teríamos que estabelecer cinco variáveis ​​para contabilizar cada corrente única no circuito (I ₁ até I ₅ ) Isso exigiria cinco equações para a solução, na forma de duas equações KCL e três equações KVL (duas equações para KCL nos nós e três equações para KVL em cada loop):







Suponho que se você não tem nada melhor para fazer com seu tempo do que resolver cinco variáveis ​​desconhecidas com cinco equações, você pode não se importar em usar o método de análise de Corrente de Ramificação para este circuito. Para aqueles de nós que têm coisas melhores para fazer com nosso tempo, o método da corrente de malha é muito mais fácil, exigindo apenas três incógnitas e três equações para resolver:





Menos equações para trabalhar é uma vantagem decisiva, especialmente ao realizar uma solução de equação simultânea à mão (sem uma calculadora).

Ponte de Wheatstone desequilibrada

Outro tipo de circuito que se adapta bem à corrente de malha é a ponte Wheatstone desequilibrada. Veja este circuito, por exemplo:



Uma vez que as relações de R ₁ / R ₄ e R ₂ / R ₅ são desiguais, sabemos que haverá a tensão no resistor R ₃ , e alguma quantidade de corrente através dele. Conforme discutido no início deste capítulo, esse tipo de circuito é irredutível pela análise normal em série-paralelo e só pode ser analisado por algum outro método.

Poderíamos aplicar o método Branch Current a este circuito, mas exigiria seis correntes (I ₁ até I ₆ ), levando a um grande conjunto de equações simultâneas para resolver. Usando o método de corrente de malha, porém, podemos resolver todas as correntes e tensões com muito menos variáveis.

Desenhar malha

A primeira etapa no método de corrente de malha é desenhar correntes de malha suficientes para contabilizar todos os componentes do circuito. Olhando para o nosso circuito de ponte, deve ser óbvio onde colocar duas dessas correntes:



As direções dessas correntes de malha, é claro, são arbitrárias. No entanto, duas correntes de malha não são suficientes neste circuito, porque nem eu ₁ nem eu ₂ passa pela bateria. Portanto, devemos adicionar uma terceira corrente de malha, I ₃ :



Aqui, eu escolhi I ₃ para fazer um loop do lado inferior da bateria, através de R ₄ , até R ₁ e de volta para o lado superior da bateria. Este não é o único caminho que eu poderia ter escolhido para I ₃ , mas parece o mais simples.

Identifique as polaridades de queda de tensão do resistor

Agora, devemos rotular as polaridades da queda de tensão do resistor, seguindo cada uma das direções das correntes assumidas:



Observe algo muito importante aqui:no resistor R ₄ , as polaridades para as respectivas correntes de malha não coincidem. Isso ocorre porque essas correntes de malha (I ₂ e eu ₃ ) estão passando por R ₄ em direções diferentes. Isso não impede o uso do método de análise da Corrente de Malha, mas o complica um pouco. Mais tarde, vamos mostrar como evitar o R ​​ ₄ confronto atual. (Veja o exemplo abaixo)

Usando KVL

Gerando uma equação KVL para o loop superior da ponte, começando do nó superior e traçando no sentido horário:



Nesta equação, representamos as direções comuns das correntes por suas somas através de resistores comuns. Por exemplo, resistor R ₃ , com um valor de 100 Ω, tem sua queda de tensão representada na equação KVL acima pela expressão 100 (I ₁ + I ₂ ), uma vez que ambas as correntes I ₁ e eu ₂ vá até R ₃ da direita para esquerda. O mesmo pode ser dito para o resistor R ₁ , com sua expressão de queda de tensão mostrada como 150 (I ₁ + I ₃ ), já que ambos eu ₁ e eu ₃ vá de baixo para cima por meio desse resistor e, assim, trabalhe juntos para gerar sua queda de tensão.

Gerar uma equação KVL para o loop inferior da ponte não será tão fácil, pois temos duas correntes indo uma contra a outra através do resistor R ₄ . Aqui está como eu faço isso (começando no nó à direita e seguindo no sentido anti-horário):



Observe como o segundo termo na forma original da equação tem resistor R ₄ 'S valor de 300 Ω multiplicado pela diferença entre I ₂ e eu ₃ (I ₂ - I ₃ ) É assim que representamos o efeito combinado de duas correntes de malha indo em direções opostas pelo mesmo componente. A escolha dos sinais matemáticos apropriados é muito importante aqui:300 (I ₂ - I ₃ ) não significa a mesma coisa que 300 (I ₃ - I ₂ ) Eu escolhi escrever 300 (I ₂ - I ₃ ) porque eu estava pensando primeiro em eu ₂ Efeito do (criando uma queda de tensão positiva, medindo com um voltímetro imaginário em R ₄ , cabo vermelho na parte inferior e cabo preto no topo), e secundariamente de I ₃ Efeito (criando uma queda de tensão negativa, fio vermelho na parte inferior e fio preto na parte superior). Se eu tivesse pensado em termos de I ₃ O efeito primeiro e eu ₂ Com o efeito secundário, segurando meus condutores de voltímetro imaginários nas mesmas posições (vermelho na parte inferior e preto na parte superior), a expressão teria sido -300 (I ₃ - I ₂ ) Observe que esta expressão é matematicamente equivalente ao primeiro:+300 (I ₂ - I ₃ )

Bem, isso resolve duas equações, mas ainda preciso de uma terceira equação para completar meu conjunto de equações simultâneas de três variáveis, três equações. Esta terceira equação também deve incluir a tensão da bateria, que até este ponto não aparece em nenhuma das duas equações KVL anteriores. Para gerar esta equação, vou traçar um loop novamente com meu voltímetro imaginário começando do terminal inferior (negativo) da bateria, girando no sentido horário (novamente, a direção em que eu passo é arbitrária e não precisa ser a mesma que a direção da corrente de malha nesse loop):

Resolvendo para as correntes

Resolvendo para I ₁ , I ₂ e eu ₃ usando qualquer método de equação simultânea de nossa preferência:



Exemplo: Use o Octave para encontrar a solução para I ₁ , I ₂ e eu ₃ da forma simplificada de equações acima.

Solução: No Octave, um clone de código-fonte aberto do Matlab®, insira os coeficientes na matriz A entre colchetes com elementos de coluna separados por vírgula e linhas separadas por ponto e vírgula. Insira as tensões no vetor coluna:b. As correntes desconhecidas:I ₁ , ₂ e eu ₃ são calculados pelo comando:x =A \ b. Eles estão contidos no vetor coluna x.

 oitava:1> A =[300,100,150; 100,650, -300; -150,300, -450] A =300 100 150 100 650 -300 -150 300 -450 oitava:2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 oitava:3> x =A \ b x =-0,093793 0,077241 0,136092 

O valor negativo obtido para I ₁ nos diz que a direção assumida para aquela corrente de malha estava incorreta. Assim, os valores de corrente reais através de cada resistor são os seguintes:



Calculando quedas de tensão em cada resistor:



Uma simulação SPICE confirma a precisão de nossos cálculos de tensão:

 ponte de wheatstone desequilibrada v1 1 0 r1 1 2 150 r2 1 3 50 r3 2 3 100 r4 2 0 300 r5 3 0 250 .dc v1 24 24 1 .print DC v (1,2) v (1,3) v (3,2) v (2,0) v (3,0) .fim v1 v (1,2) v (1,3) v (3,2) v (2) v (3) 2,400E + 01 6,345E + 00 4,690E + 00 1,655E + 00 1,766E + 01 1,931E + 01 

Exemplo:

(a) Encontre um novo caminho para o I ₃ atual que não produz uma polaridade conflitante em nenhum resistor em comparação com I ₁ ou eu ₂ . R ₄ foi o componente ofensivo. (b) Encontre valores para I ₁ , I ₂ e eu ₃ . (c) Encontre as cinco correntes do resistor e compare-as com os valores anteriores.

Solução:

(a) Rota I ₃ até R ₅ , R _3, e R ₁ como mostrado:



Observe que a polaridade conflitante em R ₄ foi removido. Além disso, nenhum dos outros resistores tem polaridades conflitantes.

(b) Octave, um clone de código aberto (gratuito) do Matlab, produz um vetor de corrente de malha em “x”:

 oitava:1> A =[300.100.250; 100.650.350; -250, -350, -500] A =300 100 250 100 650 350 -250 -350 -500 oitava:2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 oitava:3> x =A \ b x =-0,093793 -0,058851 0,136092 

Nem todas as correntes I ₁ , I ₂ e eu ₃ são iguais (I ₂ ) como a ponte anterior por causa de diferentes caminhos de loop. No entanto, as correntes do resistor se comparam aos valores anteriores:

 IR1 =I1 + I3 =-93,793 ma + 136,092 ma =42,299 ma IR2 =I1 =-93,793 ma IR3 =I1 + I2 + I3 =-93,793 ma -58,851 ma + 136,092 ma =-16,552 ma IR4 =I2 =-58,851 ma IR5 =I2 + I3 =-58,851 ma + 136,092 ma =77,241 ma 

Como as correntes do resistor são iguais aos valores anteriores, as tensões do resistor serão idênticas e não precisam ser calculadas novamente.

REVER:

• Etapas a seguir para o método de análise “Corrente de malha”:
• (1) Desenhe correntes de malha em loops do circuito, o suficiente para considerar todos os componentes.
• (2) Identifique as polaridades de queda de tensão do resistor com base nas direções assumidas das correntes de malha.
• (3) Escreva as equações KVL para cada loop do circuito, substituindo o produto IR por E em cada termo do resistor da equação. Onde duas correntes de malha se cruzam através de um componente, expresse a corrente como a soma algébrica dessas duas correntes de malha (ou seja, I ₁ + I ₂ ) se as correntes vão na mesma direção por meio desse componente. Caso contrário, expresse a atual a partir da diferença (ou seja, I ₁ - I ₂ ).
• (4) Resolva para correntes de malha desconhecidas (equações simultâneas).
• (5) Se alguma solução for negativa, a direção da corrente assumida está errada!
• (6) Adicione algebricamente correntes de malha para encontrar componentes atuais que compartilham várias correntes de malha.
• (7) Resolva as quedas de tensão em todos os resistores (E =IR).

Corrente de malha por inspeção

Damos uma segunda olhada no “método da corrente de malha” com todas as correntes girando no sentido horário (cw). A motivação é simplificar a escrita de equações de malha, ignorando a polaridade da queda de tensão do resistor. Porém, devemos prestar atenção à polaridade das fontes de tensão em relação à direção da corrente assumida. O sinal das quedas de tensão do resistor seguirá um padrão fixo.

Se escrevermos um conjunto de equações de corrente de malha convencionais para o circuito abaixo, onde prestamos atenção aos sinais de queda de tensão nos resistores, podemos reorganizar os coeficientes em um padrão fixo:



Uma vez reorganizadas, podemos escrever equações por inspeção. The signs of the coefficients follow a fixed pattern in the pair above or the set of three in the rules below.

Mesh current rules:

• This method assumes conventional current flow voltage sources. Replace any current source in parallel with a resistor with an equivalent voltage source in series with an equivalent resistance.
• Ignoring current direction or voltage polarity on resistors, draw counterclockwise current loops traversing all components. Avoid nested loops.
• Write voltage-law equations in terms of unknown currents:I₁ , I₂ , and I₃ . Equation 1 coefficient 1, equation 2, coefficient 2, and equation 3 coefficient 3 are the positive sums of resistors around the respective loops.
• All other coefficients are negative, representative of the resistance common to a pair of loops. Equation 1 coefficient 2 is the resistor common to loops 1 and 2, coefficient 3 the resistor common to loops 1 an 3. Repeat for other equations and coefficients.
• +(sum of R's loop 1)I1 - (common R loop 1-2)I2 - (common R loop 1-3)I3 =E1
  -(common R loop 1-2)I1 + (sum of R's loop 2)I2 - (common R loop 2-3)I3 =E2
  -(common R loop 1-3)I1 - (common R loop 2-3)I2 + (sum of R's loop 3)I3 =E3
• The right-hand side of the equations is equal to an electron current flow voltage source. A voltage rise with respect to the counterclockwise assumed current is positive, and 0 for no voltage source.
• Solve equations for mesh currents:I₁ , I₂ , and I3. Solve for currents through individual resistors with KCL. Solve for voltages with Ohms Law and KVL.

While the above rules are specific for a three mesh circuit, the rules may be extended to smaller or larger meshes. The figure below illustrates the application of the rules. The three currents are all drawn in the same direction, clockwise. One KVL equation is written for each of the three loops. Note that there is no polarity drawn on the resistors. We do not need it to determine the signs of the coefficients. Though we do need to pay attention to the polarity of the voltage source with respect to the current direction. The I₃ clockwise current flows out from the (+) positive terminal of the l24V source then returns to the (-) terminal. This is a voltage rise for conventional current flow. Therefore, the third equation right-hand side is -24V.



In Octave, enter the coefficients into the A matrix with column elements comma-separated, and rows semicolon-separated. Enter the voltages into the column vector b. Solve for the unknown currents:I₁ , I₂ , and I₃ with the command:x=A\b. These currents are contained within the x column vector. The positive values indicate that the three mesh currents all flow in the assumed clockwise direction.

 octave:2> A=[300,-100,-150;-100,650,-300;-150,-300,450] A =300 -100 -150 -100 650 -300 -150 -300 450 octave:3> b=[0;0;24] b =0 0 24 octave:4> x=A\b x =0.093793 0.077241 0.136092 

The mesh currents match the previous solution by a different mesh current method. The calculation of resistor voltages and currents will be identical to the previous solution. No need to repeat here.

Note that electrical engineering texts are based on conventional current flow. The loop-current, mesh-current method in those texts will run the assumed mesh currents clockwise . The conventional current flows out the (+) terminal of the battery through the circuit, returning to the (-) terminal. A conventional current-voltage rise corresponds to tracing the assumed current from (-) to (+) through any voltage sources.

One more example of a previous circuit follows. The resistance around loop 1 is 6 Ω, around loop 2:3 Ω. The resistance common to both loops is 2 Ω. Note the coefficients of I₁ and I₂ in the pair of equations. Tracing the assumed clockwise loop 1 current through B₁ from (+) to (-) corresponds to an electron current flow voltage rise.

Thus, the sign of the 28 V is positive. The loop 2 counterclockwise assumed current traces (-) to (+) through B₂ , a voltage drop. Thus, the sign of B₂ is negative, -7 in the 2nd mesh equation. Once again, there are no polarity markings on the resistors. Nor do they figure into the equations.



The currents I₁ =5 A, and I₂ =1 A are both positive. They both flow in the direction of the clockwise loops. This compares with previous results.

Summary:

• The modified mesh-current method avoids having to determine the signs of the equation coefficients by drawing all mesh currents clockwise for conventional current flow.
• However, we do need to determine the sign of any voltage sources in the loop. The voltage source is positive if the assumed ccw current flows with the battery (source). The sign is negative if the assumed ccw current flows against the battery.
• See the rules above for details.

PLANILHA RELACIONADA:

• DC Mesh Current Analysis Worksheet