Forma polar e notação de forma retangular para números complexos

Para trabalhar com números complexos sem desenhar vetores, primeiro precisamos de algum tipo de notação matemática padrão. Existem duas formas básicas de notação numérica complexa: polar e retangular .

Forma polar de um número complexo

A forma polar é onde um número complexo é denotado pelo comprimento (também conhecido como magnitude , valor absoluto , ou módulo ) e o ângulo de seu vetor (geralmente denotado por um símbolo de ângulo semelhante a este:∠).

Para usar a analogia do mapa, a notação polar para o vetor de Nova York a San Diego seria algo como “2.400 milhas, sudoeste”. Aqui estão dois exemplos de vetores e suas notações polares:

Vetores com notações polares.



A orientação padrão para ângulos vetoriais em cálculos de circuitos AC define 0 ° como sendo para a direita (horizontal), fazendo 90 ° para cima, 180 ° para a esquerda e 270 ° para baixo. Observe que os vetores com ângulos "para baixo" podem ter ângulos representados na forma polar como números positivos maiores que 180 ou números negativos menores que 180.

Por exemplo, um vetor com ângulo de ∠ 270 ° (direto para baixo) também pode ter um ângulo de -90 °. (Figura abaixo) O vetor acima à direita (7,81 ∠ 230,19 °) também pode ser denotado como 7,81 ∠ -129,81 °.

A bússola vetorial.

Forma retangular de um número complexo

A forma retangular, por outro lado, é onde um número complexo é denotado por seus respectivos componentes horizontal e vertical. Em essência, o vetor angular é considerado a hipotenusa de um triângulo retângulo, descrito pelos comprimentos dos lados adjacentes e opostos.

Em vez de descrever o comprimento e a direção de um vetor denotando magnitude e ângulo, ele é descrito em termos de "quão distante à esquerda / direita" e "quão longe para cima / para baixo."

Essas figuras bidimensionais (horizontal e vertical) são simbolizadas por duas figuras numéricas. Para distinguir as dimensões horizontal e vertical uma da outra, a vertical é prefixada com um minúsculo “i” (em matemática pura) ou “j” (em eletrônica).

Estas letras minúsculas não representam uma variável física (como corrente instantânea, também simbolizada por uma letra minúscula “i”), mas sim são operadores matemáticos usado para distinguir o componente vertical do vetor de seu componente horizontal. Como um número complexo completo, as quantidades horizontais e verticais são escritas como uma soma:(Figura abaixo)

Na forma “retangular”, o comprimento e a direção do vetor são indicados em termos de extensão horizontal e vertical, o primeiro número representando a horizontal (“real”) e o segundo número (com o prefixo “j”) representando as dimensões verticais (“imaginárias”).



O componente horizontal é referido como o real componente uma vez que essa dimensão é compatível com números normais, escalares ("reais"). O componente vertical é conhecido como imaginário componente uma vez que essa dimensão está em uma direção diferente, totalmente alheia à escala dos números reais. (Figura abaixo)

Bússola vetorial mostrando eixos reais e imaginários.



O eixo “real” do gráfico corresponde à linha numérica familiar que vimos antes:aquela com valores positivos e negativos. O eixo “imaginário” do gráfico corresponde a outra reta numérica situada a 90 ° da “real”.

Os vetores sendo coisas bidimensionais, devemos ter um "mapa" bidimensional sobre o qual expressá-los, portanto, as duas retas numéricas perpendiculares entre si:(Figura abaixo)

Bússola vetorial com linhas numéricas reais e imaginárias (“j”).

Conversão da forma polar para a forma retangular

Qualquer método de notação é válido para números complexos. A razão principal para ter dois métodos de notação é a facilidade de cálculo à mão, a forma retangular que se presta à adição e subtração, e a forma polar que se presta à multiplicação e divisão.

A conversão entre as duas formas notacionais envolve trigonometria simples. Para converter de polar para retangular, encontre o componente real multiplicando a magnitude polar pelo cosseno do ângulo e o componente imaginário multiplicando a magnitude polar pelo seno do ângulo.

Isso pode ser compreendido mais facilmente desenhando as quantidades como lados de um triângulo retângulo, a hipotenusa do triângulo representando o próprio vetor (seu comprimento e ângulo em relação à horizontal constituindo a forma polar), os lados horizontal e vertical representando o " componentes retangulares reais ”e“ imaginários ”, respectivamente:(Figura abaixo)

Vetor de magnitude em termos de componentes reais (4) e imaginários (j3).

Conversão da forma retangular para a forma polar

Para converter de retangular em polar, encontre a magnitude polar através do uso do Teorema de Pitágoras (a magnitude polar é a hipotenusa de um triângulo retângulo, e os componentes real e imaginário são os lados adjacentes e opostos, respectivamente), e o ângulo por tomando o arco tangente do componente imaginário dividido pelo componente real:







REVER:

• Polar notação denota um número complexo em termos de comprimento de seu vetor e direção angular a partir do ponto de partida. Exemplo:voar 45 milhas ∠ 203 ° (oeste pela sudoeste).
• Retangular a notação denota um número complexo em termos de suas dimensões horizontal e vertical. Exemplo:dirija 41 milhas a oeste, depois vire e dirija 18 milhas em direção ao sul.
• Na notação retangular, a primeira quantidade é o componente “real” (dimensão horizontal do vetor) e a segunda quantidade é o componente “imaginário” (dimensão vertical do vetor). O componente imaginário é precedido por um “j” minúsculo, às vezes chamado de operador j .
• As formas polar e retangular de notação para um número complexo podem ser relacionadas graficamente na forma de um triângulo retângulo, com a hipotenusa representando o próprio vetor (forma polar:comprimento da hipotenusa =magnitude; ângulo em relação ao lado horizontal =ângulo ), o lado horizontal representando o componente retangular "real" e o lado vertical representando o componente retangular "imaginário".

PLANILHA RELACIONADA:

• Planilha da fase AC