Entendendo o Espectro de Potência do Ruído de Quantização

Este artigo abre nossa série aprofundada sobre ruído de quantização, delineando o framework analítico que guia nossa exploração.

Esta série continua o trabalho de dois posts anteriores. O primeiro examinou se a combinação e separação em fase e quadratura (I/Q) devem ser realizadas analógica ou digitalmente. Avaliamos o desempenho de moduladores e desmoduladores I/Q, bem como ADCs e DACs, e discutimos os critérios-chave para um enlace de comunicações de alta qualidade.

ADCs e DACs – coletivamente conhecidos como conversores de dados – não foram totalmente caracterizados para formas de onda de comunicações modernas. Consequentemente, propus-me a investigar seu desempenho e fornecer um modelo realista. O segundo post explorou modelagem de ADC e DAC usando ENOB e um polinômio de intermodulação, e introduziu um modelo mais abrangente que incorpora um filtro passa-baixa.

Objetivo da Série

Em muitas análises de desempenho de conversores de dados, o seguinte cenário é comum:

Figura 1. Diagrama de bloco simplificado do uso de um conversor de dados

A potência total de ruído emergindo do conversor de dados sobre a largura de banda de Nyquist (B_N) é N. Um filtro subsequente – seja passa-banda ou passa-baixa – tem uma largura de banda B_o. Tipicamente, a potência de ruído após o filtro é aproximada por:

Potência de ruído na saída do filtro = N (B_o / B_N)

Equação 1. Esta relação vale para qualquer filtro razoável após o ADC, independentemente da frequência central, desde que o filtro não seja excessivamente estreito.

A Equação 1 assume ruído branco (plano em frequência). Questionei a validade desta suposição de pseudo-ruído de quantização e investiguei as condições sob as quais ela se mantém. Extensas referências (veja Seção 4) e resultados de simulação suportam esta investigação.

Quantização uniforme foi o único foco, pois é padrão em conversores de alta velocidade. Arquiteturas sigma-delta foram deliberadamente excluídas.

Para aplicações ADC, o ganho da cadeia RF é frequentemente aumentado para que o ruído dos componentes anteriores esteja 3-5 dB acima do ruído de quantização, tornando o espectro de quantização inconsequencial. No entanto, esta prática pode inflar o custo do sistema exigindo maior ganho RF e faixa dinâmica do ADC.

Em contraste, projetistas de DAC preferem que o ruído do DAC domine, evitando a adição de ruído downstream apenas para impor um espectro branco.

Valores de Pico, Médio e RMS

Definir o nível do sinal de entrada é essencial. A Figura 2 retrata uma onda senoidal quantizada de 5 bits. Sua amplitude é comumente expressa como 0 dBFS, onde FS denota escala total no quantizador. Engenheiros de RF tipicamente usam valores RMS; para uma onda senoidal, o nível RMS é 3 dB abaixo do pico, então o sinal é –3 dBrmsFS ou 0 dBpeakFS.

Figura 2. Onda senoidal quantizada de 5 bits

Para o restante da série, níveis de sinal são expressos em dBrmsFS ou dBpeakFS. Note que potência é proporcional ao quadrado da tensão; portanto, a razão pico-para-média de potência (PAPR) desta onda senoidal de envelope constante é 3 dB. Da mesma forma, todos os sinais de banda passa com fase ou modulação de frequência de envelope constante, como MSK, exibem um PAPR de 3 dB. Embora muitos se refiram ao PAPR de tais sinais como 0 dB – considerando apenas o envelope – o PAPR de tensão real é de fato 3 dB maior.

Na próxima instalação, examinaremos o espectro de saídas de ADC em detalhes.

Abreviações Usadas

Consulte a tabela a seguir para terminologia ao longo da série.

Referências

As seguintes fontes fundamentam esta série:

• Introdução e Motivação
• [1] Digital or Analog? How Should I and Q Combining and Separation Be Done?
• Requirements for Good Communications Link Performance: IQ Modulation and Demodulation
• [2] How Should Data Converters Be Modeled for System Simulations?
• Modeling ADCs Using Effective Number of Bits (ENOB)
• Modeling ADCs Using Intermodulation Polynomial and Effective Number of Bits
• Adding a Low-pass Filter to an ADC Model and DAC Modeling
• Quantization noise with or without clipping effects
• ADC & DAC
• [3] Maloberti, Franco; Data Converters; Springer Publishing; 2007
• ADC Específico, com e sem Efeitos de Clipping
• [4] Lever, K. V.; Cattermol, K.W., "Quantising noise spectra," Electrical Engineers, Proceedings of the Institution of, vol.121, no.9, pp.945-954, September 1974
• Lever, K.V.; Cattermole, K.W., "Erratum: Quantising noise spectra," Electrical Engineers, Proceedings of the Institution of, vol.122, no.3, pp.272, March 1975
• [5] Gersho, A, "Principles of quantization," Circuits and Systems, IEEE Transactions on, vol.25, no.7, pp.427-436, July 1978
• [6] Gersho, A, "Quantization," Communications Society Magazine, IEEE, vol.15, no.5, pp.16-16, September 1977
• [7] Schuchman, L., "Dither Signals and Their Effect on Quantization Noise," Communication Technology, IEEE Transactions on, vol.12, no.4, pp.162-165, December 1964
• [8] Walden, R.H., "Analog-to-Digital Converters and Associated IC Technologies," Compound Semiconductor Integrated Circuits Symposium, 2008. CSIC '08. IEEE, vol., no., pp.1-2, 12-15 Oct. 2008
• [9] Walden, R.H., "Performance trends for analog to digital converters," Communications Magazine, IEEE, vol.37, no.2, pp.96-101, Feb 1999
• [10] Walden, R.H., "Analog-to-digital converter technology comparison," Gallium Arsenide Integrated Circuit (GaAs IC) Symposium, 1994, Technical Digest 1994., 16th Annual, vol., no., pp.217-219, 16-19 Oct. 1994
• [11] Walden, R.H., "Analog-to-digital converter survey and analysis," Selected Areas in Communications, IEEE Journal on, vol.17, no.4, pp.539-550, Apr 1999
• [12] Morgan, D.R., "Finite limiting effects for a band-limited Gaussian random process with applications to A/D conversion," Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on, vol.36, no.7, pp.1011-1016, Jul 1988
• [13] Chow, P.E.-K., "Performance in waveform quantization," Communications, IEEE Transactions on, vol.40, no.11, pp.1737-1745, Nov 1992
• [14] Dardari, D., "Exact analysis of joint clipping and quantization effects in high speed WLAN receivers," Communications, 2003. ICC '03. IEEE International Conference on, vol.5, no., pp.3487-3492, vol.5, 11-15 May 2003
• [15] Gray, R.M., "Quantization noise spectra," Information Theory, IEEE Transactions on, vol.36, no.6, pp.1220-1244, Nov 1990
• [16] Echard, J.; Watt, M.L., "The quantization noise spectrum of a sinusoid in colored noise," Signal Processing, IEEE Transactions on, vol.39, no.8, pp.1780-1787, Aug 1991
• [17] He Jing; Li Gang; Xu Xibin; Yao Yan, "Estimation for the quantization noise spectrum of linear digital filter," Communication Technology Proceedings, 2000. WCC - ICCT 2000. International Conference on, vol.1, no., pp.184-187, vol.1, 2000
• [18] Bennett, W.R., "Spectra of quantized signals," Bell System Technical Journal, The, vol.27, no.3, pp.446-472, July 1948
• [19] Mohamed, E.M., "Low complexity channel estimation technique for MIMO-Constant Envelope Modulation," Wireless Technology and Applications (ISWTA), 2013 IEEE Symposium on, vol., no., pp.97-102, 22-25 Sept. 2013
• [20] Clavier, A G.; Panter, P. F.; Grieg, D.D., "Distortion in a Pulse Count Modulation System," American Institute of Electrical Engineers, Transactions of the, vol.66, no.1, pp.989-1005, Jan. 1947
• DAC Específico, com e sem Efeitos de Clipping
• [21] Ling, W.A, "Shaping Quantization Noise and Clipping Distortion in Direct-Detection Discrete Multitone," Lightwave Technology, Journal of, vol.32, no.9, pp.1750-1758, May 1, 2014
• Efeitos de Clipping apenas; ADC Apenas
• [22] Mazo, J.E., "Asymptotic distortion spectrum of clipped, DC-biased, Gaussian noise [optical communication]," Communications, IEEE Transactions on, vol.40, no.8, pp.1339-1344, Aug 1992
• [23] Dakhli, M.C.; Zayani, R.; Bouallegue, R., "A theoretical characterization and compensation of nonlinear distortion effects and performance analysis using polynomial model in MIMO OFDM systems under Rayleigh fading channel," Computers and Communications (ISCC), 2013 IEEE Symposium on, vol., no., pp.000583-000587, 7-10 July 2013
• [24] Dardari, D.; Tralli, V.; Vaccari, A, "A theoretical characterization of nonlinear distortion effects in OFDM systems," Communications, IEEE Transactions on, vol.48, no.10, pp.1755-1764, Oct 2000
• [25] Giannetti, F.; Lottici, V.; Stupia, I, "Theoretical Characterization of Nonlinear Distortion Noise in MC-CDMA Transmissions," Personal, Indoor and Mobile Radio Communications, 2006 IEEE 17th International Symposium on, vol., no., pp.1-5, 11-14 Sept. 2006
• [26] Van Vleck, J.H.; Middleton, D., "The spectrum of clipped noise," Proceedings of the IEEE, vol.54, no.1, pp.2-19, Jan. 1966
• Outros tratamentos matemáticos relevantes
• [27] Ermolova, N.Y.; Haggman, S.-G., "An extension of Bussgang's theory to complex-valued signals," Signal Processing Symposium, 2004, NORSIG 2004. Proceedings of the 6th Nordic, vol., no., pp.45-48, 11-11 June 2004
• [28] Requicha, Aristides A G, "Expected Values of Functions of Quantized Random Variables," Communications, IEEE Transactions on, vol.21, no.7, pp.850-854, Jul 1973
• [29] Pirskanen, J.; Renfors, M., "Quantization and jitter requirements in multimode mobile terminals," Communications, 2001. ICC 2001, IEEE International Conference on, vol.4, no., pp.1182-1186, vol.4, 2001
• [30] Irons, Fred H.; Riley, K.J.; Hummels, D.M.; Friel, G.A, "The noise power ratio-theory and ADC testing," Instrumentation and Measurement, IEEE Transactions on, vol.49, no.3, pp.659-665, Jun 2000
• [31] Widrow, B., "A Study of Rough Amplitude Quantization by Means of Nyquist Sampling Theory," Circuit Theory, IRE Transactions on, vol.3, no.4, pp.266-276, Dec 1956
• [32] Rowe, H.E., "Memoryless nonlinearities with Gaussian inputs: Elementary results," Bell System Technical Journal, The, vol.61, no.7, pp.1519-1525, Sept. 1982
• [33] VanTrees, Harry L; Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part III, Radar/Sonar Signal Processing and Gaussian Signals in Noise; John Wiley and Sons; 1971. Appendix: "Complex Representation of Bandpass Signals, Systems, and Processes" AES-1, Issue: 6, 1979, Page(s): 840-848.