Explorando Efeitos de Fase Geométrica em Ressonadores de Nanofios Baseados em Nanotubos de Carbono

Resumo

A fase geométrica é uma evolução de fase extra na função de onda de vibrações potencialmente aplicável em ampla gama de ciência e tecnologia. As características da fase geométrica no estado comprimido para um ressonador de nanofio baseado em nanotubo de carbono foram investigadas por meio do método do operador invariante. A introdução de um operador invariante linear, útil para tratar sistemas hamiltonianos complicados dependentes do tempo, permitiu derivar a fórmula analítica da fase geométrica. Utilizando-a, analisamos o comportamento temporal da fase geométrica com base em ilustrações relevantes. A influência de parâmetros de compressão na evolução da fase geométrica foi investigada. A fase geométrica, em grande parte, oscila, e o envelope de tal oscilação aumenta com o tempo. A taxa de aumento da fase geométrica é grande quando parâmetros como amplitude clássica da oscilação, fator de amortecimento e amplitude da força de excitação são grandes. Confirmamos aumento muito acentuado da fase geométrica ao longo do tempo no caso em que a frequência angular do sistema atinge próxima à frequência angular de ressonância. Nosso desenvolvimento sobre as características da fase geométrica é crucial para entender características topológicas em oscilações de nanofios.

Introdução

Vibrações mecânicas dos menores ressonadores, como nanofios baseados em nanotubos de carbono (CNT) [1-3], nanofios semicondutores [4], grafeno [5] e partículas levitadas [6], têm sido assunto principal de pesquisa na nanociência por mais de uma década. Pesquisas ativas sobre oscilações eletromecânicas de ressonadores de nanofios acionados por força periódica externa têm sido realizadas em esferas teórica e experimental. Em particular, ressonadores de nanofios baseados em CNT atraíram interesse considerável como dispositivos mecânicos na nanoescala devido às suas sensibilidades extraordinárias com fatores de qualidade altos a pequenas perturbações do ambiente. Ressonadores de nanofios de CNT suspensos são candidatos promissores para aparelhos medindo ampla gama de grandezas físicas, como ondas EM [2], pequenas forças [7], massas [8], temperaturas [9] e ruídos [10].

Análises da evolução de fase quântica em oscilações de nanofios são necessárias para elucidar características subjacentes do sistema teoricamente. Quanto a estados vibracionais quânticos de ressonadores de nanofios baseados em CNT [11], a fase geométrica [12] bem como a fase dinâmica usual emergem como evolução suplementar da fase. A fase geométrica [12] é um anolonômico de um estado quântico aplicável em diversos campos da física. Análises da fase geométrica podem ser potencialmente adotadas na caracterização de propriedades nano de nanofios, como perfis de ressonância [13, 14], vibrações quânticas fortes [15, 16], mecanismos de relaxamento de deformação [17, 18], emergência de magnetoplásmons de Dirac [19] e topologia de oscilações Aharonov-Bohm [20].

O estudo da fase geométrica associada a dinâmica não-adiabática pode fornecer insight para sistemas nanomecânicos, necessário para avanço de técnicas de simulação precisas [21]. Preparação, manipulação e detecção de estados quânticos são fatores importantes em tecnologias quânticas. O objetivo da presente pesquisa é lançar luz sobre comportamentos temporais da fase geométrica que ocorre em estados quânticos de oscilações de nanofios. Para entender o mecanismo de vibrações de nanofios baseados em CNT, investigaremos a evolução temporal da fase geométrica no estado comprimido, que é um estado quântico clássico como o estado coerente. O mérito do estado comprimido é que a incerteza de um quadrante nesse estado pode ser reduzida substancialmente à custa de aumentar a incerteza do outro quadrante, enquanto tal modulação de incerteza é impossível no estado coerente. Em particular, analisaremos os efeitos de ressonância na fase geométrica. Como a energia de ressonância é significativamente diferente da energia do estado não-ressonante [22, 23], o comportamento topológico da função de onda é não-trivial e pode desviar-se consideravelmente do de situações normais. A influência da mudança de parâmetros físicos e parâmetros de compressão na evolução da fase geométrica também será analisada rigorosamente. Fases geométricas são onipresentes em sistemas dinâmicos [24] e podem ser aplicadas a diversas tecnologias modernas, como computação quântica [25], interferometrias de intensidade [26], multitarefa fotônica [27], protocolos de sensoriamento quântico [28] e medições de estabilidade de onda [29].

O Hamiltoniano do sistema envolve funções de tempo associadas ao amortecimento do sistema e à força de excitação externa. Portanto, o sistema é um tipo de sistema hamiltoniano dependente do tempo (TDHS) cujos problemas quântico-mecânicos têm sido extensivamente estudados até recentemente. A função de tempo no Hamiltoniano de um TDHS não pode ser separada da função de variáveis canônicas na maioria dos casos, tornando o método convencional de separação de variáveis para resolver a equação de Schrödinger indisponível. Um método alternativo poderoso desenvolvido para superar esta dificuldade é o método do operador invariante introduzido por Lewis e Riesenfeld [30, 31]. Este método é uma ferramenta matemática muito útil quando derivamos soluções quânticas de um TDHS. Muitos problemas quântico-mecânicos descritos por TDHSs são investigados baseados neste método. Por exemplo, incluem espalhamento caótico de partículas [32], propagação de luz em meios variáveis no tempo [33], controle de elétrons aprisionados e acionados [34] e não-clasicidade de circuitos nanoeletrônicos quânticos [35]. Existe variedade de outros métodos para tratamentos quântico-mecânicos de TDHSs, que incluem método de transformação unitária [36], método algébrico de Lie [37] e método de estimativa de Hamiltoniano [38].

Considerando que o sistema é um TDHS, usamos o método do operador invariante para obter soluções quânticas do sistema. Um operador invariante linear representado em termos do operador de aniquilação será introduzido. Embora os operadores de aniquilação e criação sejam representados em termos de tempo devido à dependência temporal do sistema, tanto estados coerentes quanto comprimidos podem ser obtidos usando estes operadores de escada. A fase geométrica do sistema será avaliada analiticamente utilizando a função de onda no estado comprimido. A evolução temporal da fase geométrica será analisada em detalhe com base em suas ilustrações representadas com diversas escolhas de parâmetros.

Métodos

Para investigar a fase geométrica, primeiro precisamos estabelecer a equação clássica de movimento da ponta do nanofio. Como a fase geométrica aparece na evolução quântica da onda de um TDHS, é necessário derivar funções de onda em um estado quântico específico que gerenciamos. Consideraremos o estado comprimido como mencionado na parte introdutória. As funções de onda nos diversos estados quânticos de um TDHS, incluindo o estado comprimido, podem ser obtidas do método do operador invariante.

A equação de movimento para a amplitude dependente do tempo x para um modo de flexão de um nanotubo de carbono suspenso com massa efetiva m é dada por [1]

$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{2}+\beta x^{2}\right) x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)

onde ω₀ é a frequência angular de ressonância, Q o fator de qualidade, f_d a força de excitação eletrostática dividida por m, η o coeficiente de amortecimento não-linear e β o parâmetro de Duffing. Assumamos por conveniência que o deslocamento da ponta é suficientemente pequeno relativo ao comprimento do nanofio de CNT. Então, podemos negligenciar termos não-lineares na Eq. (1), levando a [2]

$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t). $$ (2)
O Hamiltoniano do sistema que resulta na Eq. (2) é dado por
$$ \hat{H}= e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left[\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)
onde γ=ω₀/Q. A solução clássica da Eq. (2) é composta de uma função complementar X_c(t) e uma solução particular X_p(t), dadas por
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi), \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \delta), \end{array} $$ (5)
onde X_c,0 é uma constante, $\Omega = \sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}$, φ é uma fase arbitrária, e
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \delta &=& \tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{array} $$ (7)
A solução clássica no espaço de momento é dada de forma similar, onde a função complementar é $P_{c} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)$ e a solução particular é $P_{p} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)$. Para investigar a fase geométrica do sistema, primeiro precisamos derivar soluções quânticas. Note que o Hamiltoniano do sistema dado na Eq. (3) é explicitamente dependente do tempo. Para derivar soluções quânticas do sistema, usamos o método do operador invariante [30, 31], útil para tratar tal sistema variável no tempo. Um operador invariante $\hat {I}$ do sistema pode ser derivado da equação de Liouville-von Neumann, dada por ${d \hat {I}}/{d t} = {\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) = 0$. Portanto, de uma avaliação rigorosa após inserir Eq. (3) nesta equação, temos um operador invariante linear [34] da forma
$$ \hat{I} = \hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)
onde $\hat {A}$ é o operador de aniquilação dado por
$$ \begin{aligned} \hat{A} =& \left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ & \left.+ie^{-\gamma t/2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right)}}\right]. \end{aligned} $$ (9)
O adjunto hermitiano da Eq. (9), $\hat {A}^{\dagger }$, é o operador de criação.
Podemos expressar a equação de autovalor de $\hat {A}$ como
$$ \hat{A} |A \rangle = A |A \rangle. $$ (10)
Avaliando a equação acima, temos a expressão do autovalor tal que
$$ A(t) = A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)
onde A(0)=A₀e^−iφ com
$$ A_{0} = \left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)
Enquanto o estado coerente |A〉 é o autostado de $\hat {A}$, o estado comprimido é o autostado de um operador $\hat {B}$ dado por
$$ \hat{B} = \mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)
onde μ e ν são variáveis complexas que resultam na equação
$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)
Se escrevermos a equação de autovalor de $\hat {B}$ na forma
$$ \hat{B} |B \rangle = B |B \rangle, $$ (15)
|B〉 é o estado comprimido. Resolvendo esta equação no espaço de configuração, temos
$$ {\begin{aligned} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\pi(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left[\frac{1}{2} m e^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right.\\ & \left. +\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} m e^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \right\}. \end{aligned}} $$ (16)
Assim, a função de onda no estado comprimido foi derivada como dada na Eq. (16). Características quânticas do sistema podem ser esclarecidas com base em tal descrição analítica da função de onda. Para μ=1 e ν=0, a Eq. (16) reduz-se à função de onda no estado coerente, que é o autostado da Eq. (10) no espaço de configuração. A função de onda, Eq. (16), será usada na próxima seção para derivar a fase geométrica no estado comprimido.
Resultados e Discussão
É bem conhecido que a fase na evolução quântica da onda envolve a fase geométrica bem como a fase dinâmica. A fase geométrica foi descoberta pela primeira vez por Berry em 1984 [12] para um sistema evoluindo ciclicamente com mudança adiabática. De acordo com o teorema adiabático na mecânica quântica, um autostado instantâneo de um estado quântico em evolução cíclica no espaço de parâmetros permanecerá no mesmo estado posteriormente, enquanto há acumulação adicional da fase quântica que é a fase de Berry. Uma generalização da fase de Berry de forma que inclua evolução não-adiabática, não-cíclica e/ou não-unitária do sistema quântico é a fase geométrica.
A fase geométrica no estado comprimido é dada por
$$ \gamma_{G}(t) = \int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)
A diferenciação da função de onda em relação ao tempo no espaço de configuração torna-se
$$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}(t)\right]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\right]\,+\,f_{3}(t) \right\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)
onde
$$ f_{1}(t) = - \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{aligned} f_{2}(t) &= \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -i m e^{\gamma t} \right.\\ & \quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right](\mu-\nu) +\left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \quad \left.\times\left(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \right) \right], \\ \end{aligned}} $$ (20) $$ {\begin{aligned} f_{3}(t) &\!= \frac{\gamma}{4}-\frac{1}{\hbar m e^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \right.\\ & \quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}. \end{aligned}} $$ (21)
Avaliação adicional após inserir Eq. (18) na Eq. (17) dá
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) =& \int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] \right) \right.\\ &\left.-A_{0}\left[ g_{3}(t') \sin\left(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (22)
onde
$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &= \frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &= \frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2}- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &= \left(\frac{2\Omega}{m\hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{aligned} g_{4}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{m e^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2\sqrt{m e^{\gamma t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\right), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &= \frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar m e^{\gamma t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right) +1\right] \\ & \quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{aligned}} $$ (27)
O último termo em g₅ que contém (μ−μ^∗)(ν−ν^∗) é inadequado como fase porque é um número puramente imaginário. Portanto, removemos este termo escolhendo pelo menos um de μ e ν como valor real. Este remédio pode sempre ser feito sem perda de generalidade, porque apenas a fase relativa entre μ e ν tem significado físico em vez de suas fases absolutas.
Da execução da integração na Eq. (22), temos
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) &= A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos(\Omega t+2\varphi) \right.\\ & \quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_{3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (28)
onde $\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)$ são dados por
$$ \bar{g}_{i}(t) = G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)
com
$$ {\begin{aligned} G_{3}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ & \quad\left.+\gamma \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \{ 2(\Omega-\omega) \\ & \quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\!+\gamma \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin(\omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta)+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ & \left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{aligned}} $$ (31) $$ {\begin{aligned} G_{5}(\tau) &= \frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e^{\gamma \tau}}{\gamma \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ & \quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega \tau -\delta)] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad+\frac{i\gamma \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{aligned}} $$ (32)
Assim, avaliamos a fase geométrica completa no estado comprimido, dada pela Eq. (28) com Eqs. (23), (24) e (29)–(32).
A evolução temporal da fase geométrica foi ilustrada nas Figs. 1, 2, 3 e 4. Da Fig. 1, vemos que a fase geométrica oscila e o envelope de tal oscilação aumenta com o tempo. O aumento do envelope é maior quando A₀ é grande. O padrão de oscilação torna-se gradualmente irregular à medida que os valores de μ e ν aumentam. Além disso, a amplitude da oscilação torna-se grande à medida que o tempo passa.
Evolução temporal da fase geométrica para vários valores diferentes de A₀. Os valores de (μ, ν) usados nos gráficos são (1, 0) para a, ($\sqrt {2}$, 1) para b, e ($\sqrt {3}$, $\sqrt {2}$) para c. Usamos m=1, ω₀=1, ω=5, γ=0,35, f_d=1, $\hbar =1$, φ=0, e γ_G(0)=0. A fase e todos os parâmetros são considerados adimensionais por conveniência, e esta convenção também será aplicada às figuras subsequentes. Como A₀ é dado em termos da amplitude clássica X_c,0 da função complementar [ver Eq. (12)], podemos confirmar pelos gráficos que a fase geométrica é grande quando a amplitude de oscilação é alta. Também vemos que a flutuação de γ_G(t) torna-se grande à medida que os valores μ e ν aumentam sob a condição dada na Eq. (14)

Evolução temporal da fase geométrica para vários valores diferentes de γ. O valor de ω usado nos gráficos é 0,3 para a, 0,99 para b, e 5 para c. Os parâmetros de compressão escolhidos aqui são $\mu =\sqrt {2}$ e ν=1; esta escolha dá estado q-comprimido no tempo inicial. Outras quantidades usadas são m=1, ω₀=1, A₀=1, f_d=1, $\hbar =1$, φ=0, e γ_G(0)=0. Confirmamos que a fase geométrica é grande quando o fator de amortecimento γ é grande na maioria dos casos, mas não em todos. A frequência do caso b está próxima à frequência de ressonância, enquanto as de a e c estão distantes da ressonante. A fase geométrica para o caso de ressonância (b) aumenta muito rapidamente com o tempo

a–c Este gráfico é o mesmo da Fig. 2, mas para o caso em que os parâmetros de compressão escolhidos são $\mu =\sqrt {2}$ e ν=−1 que dão um estado p-comprimido no tempo inicial. Do fato de que os gráficos gerais neste caso não são muito diferentes dos correspondentes da Fig. 2, podemos confirmar que a evolução de γ_G(t) é quase irrelevante aos tipos de compressão desde que os valores absolutos de μ e ν não mudem

Evolução temporal da fase geométrica para vários valores diferentes de f_d. O valor de ω usado nos gráficos é 0,3 para a e 5 para b. Usamos $\mu =\sqrt {2}$, ν=1, m=1, ω₀=1, γ=0,3, A₀=1, $\hbar =1$, φ=0, e γ_G(0)=0. À medida que a amplitude (f_d) da força de excitação aumenta, a fase geométrica torna-se grande
Os efeitos de compressão no estado comprimido dependendo do parâmetro de compressão c onde c=μ/ν foram investigados na ref. [39]. De acordo com a análise dada na ref. [39] (ver Fig. 1(a) na ref. [39]), o estado comprimido ilustrado na Fig. 2, que corresponde a $c=\sqrt {2}$, é o estado q-comprimido no tempo inicial, enquanto o da Fig. 3, que corresponde a $c=-\sqrt {2}$, é o estado p-comprimido na mesma situação. Comparando Figs. 2 e 3 entre si, podemos concluir que a fase geométrica no estado q-comprimido é quase a mesma que no estado p-comprimido.
Os efeitos de γ na evolução da fase geométrica podem ser confirmados nas Figs. 2 e 3. A fase geométrica aumenta mais rapidamente quando γ é grande. Comparando Figs. 2a e 3a com Figs. 2c e 3c, podemos confirmar que a fase geométrica varia um pouco mais rapidamente quando ω é maior que a frequência angular de ressonância.
O comportamento temporal da fase geométrica no estado de ressonância ou próximo a ele do sistema pode ser de grande interesse [22, 23]. Figs. 2b e 3b mostram que a fase geométrica aumenta muito rapidamente quando ω está próxima à frequência angular de ressonância. Isso significa que a função de onda nesta situação varia significativamente com o tempo, porque a magnitude da fase geométrica está relacionada à variação temporal da função de onda. De fato, a amplitude da oscilação do fio é notavelmente aumentada no estado de ressonância. Aliás, frequências angulares de ressonância de ressonadores de nanofios baseados em CNT suspensos não são apenas altas, mas também amplamente ajustáveis com fatores de qualidade muito altos [3]. Por esta razão, os modos vibracionais do sistema serão mantidos por muito tempo até que se amorteçam completamente [11].
A Fig. 4 mostra que a fase geométrica também é afetada pela amplitude da força de excitação f_d. À medida que f_d aumenta, o incremento da fase geométrica no tempo é rápido.
Conclusão
Investigamos a fase geométrica no estado comprimido para o sistema com base em dinâmica quântica com a equação de Schrödinger. Considerando a dependência temporal do Hamiltoniano que descreve o sistema, o método do operador invariante foi introduzido, que é uma ferramenta potencial para derivar soluções quânticas no caso em que o Hamiltoniano é descrito em termos de tempo. Por meio deste método, a fórmula analítica da fase geométrica para a oscilação de nanofio baseado em CNT foi obtida.
Uma análise detalhada dos efeitos de fase, necessária para entendimento teórico das vibrações mecânicas, foi realizada. Nosso desenvolvimento da fase geométrica é totalmente baseado em quântica com avaliações matemáticas rigorosas. A fase geométrica é sensível à mudança de parâmetros mecânicos e exibe oscilação em grande número de casos. A influência dos parâmetros de compressão na evolução da fase geométrica também foi analisada. Confirmamos forte aumento de acumulação da fase geométrica ao longo do tempo próxima à frequência angular de ressonância.
Nossos resultados ilustram o comportamento temporal da fase geométrica que aparece na vibração de nanofio baseado em CNT. A análise da fase geométrica dada neste trabalho é importante para entender não apenas características topológicas do sistema mas vibrações dinâmicas de outros osciladores mecânicos baseados em nanofios também. Em particular, desenvolvemos propriedades de fase do estado de ressonância, cuja clarificação é necessária na aplicação do sistema em tecnologias de informação quântica e outras indústrias baseadas em quântica [40]. O método e framework similares usados nesta pesquisa também podem ser estendidos a outros sistemas nano, como ressonadores Fabry-Perot supercondutores [41], nanocantiléveres [42] e sistemas híbridos qubit-ressonador-átomo [43].
Abreviações
CNT:
Nanotubo de carbono
EM waves:
Ondas eletromagnéticas
TDHS:
Sistema hamiltoniano dependente do tempo

Crescimento Direto e Livre de Catalisador de Nanofios de GaN de Alta Qualidade em Sílica Fundida Revestida com ITO por MBE Assistida por Plasma FETs de 2 nm Fonte-Dreno: Design de Canal-U com Porta Retangular de Alto Desempenho

Nanomateriais

Metal

Resina

fibra

Material compósito

Nanomateriais

Materiais Poliméricos

biológico

Corante

Especiarias

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