Calculando ângulos de Euler em um robô de 6 eixos

Como a orientação no espaço é representada com os ângulos de Euler?

Se você usa um braço de robô de seis eixos, como o Meca500 da Mecademic usado neste tutorial como exemplo, provavelmente está interessado em posicionar sua ferramenta (end-effector ) em várias orientações. Em outras palavras, você precisa ser capaz de programar seu robô para mover seu efetuador final tanto para uma posição desejada quanto para uma orientação desejada (ou seja, para uma postura desejada ). Claro, você sempre pode movimentar o efetuador final do seu robô ou guiá-lo manualmente para aproximadamente a pose desejada, mas esse chamado método de programação online é tedioso e muito impreciso. É muito mais eficiente calcular e definir a pose desejada offline. Além disso, para definir o referencial da ferramenta associado ao seu efetuador final (como na imagem mostrada aqui), você precisaria calcular a pose desse quadro de referência da ferramenta em relação ao quadro de referência do flange .
No espaço 3D, você precisa de um mínimo de seis parâmetros para definir uma pose. Por exemplo, a posição do efetuador do robô, ou mais precisamente do TCP (ponto central da ferramenta ), normalmente é definido como x , y e z coordenadas da origem do quadro de referência da ferramenta em relação ao quadro de referência mundial . Mas como você define a orientação no espaço?

A representação da orientação no espaço é uma questão complexa. Teorema da rotação de Euler afirma que, no espaço (3D), qualquer deslocamento de um corpo rígido de tal forma que um ponto do corpo rígido permaneça fixo é equivalente a uma única rotação em torno de um eixo que passa pelo ponto fixo. Assim, tal rotação pode ser descrita por três parâmetros independentes:dois para descrever o eixo e um para o ângulo de rotação. A orientação no espaço, entretanto, pode ser representada de várias outras maneiras, cada uma com suas próprias vantagens e desvantagens. Algumas dessas representações usam mais do que o mínimo necessário de três parâmetros.

A forma mais comum de transformar as coordenadas de posição de um quadro de referência cartesiano (3D), F , para outro, F' , é a matriz de rotação . Esta matriz 3 × 3 pode, portanto, ser usada para representar a orientação do quadro de referência F' em relação ao quadro de referência F . No entanto, essa representação, embora muitas vezes necessária, como descobriremos mais tarde, não é uma forma compacta e intuitiva de definir a orientação.
Outra forma muito mais compacta de definir a orientação é o quatérnio . Esta forma de representação consiste em um vetor normalizado de quatro escalares. O quaternion é geralmente usado em controladores de robôs, pois não é apenas mais compacto que a matriz de rotação, mas também menos suscetível a erros de aproximação. Além disso, durante uma interpolação entre duas orientações diferentes, os elementos do quatérnio mudam continuamente, evitando as descontinuidades inerentes às parametrizações tridimensionais como os ângulos de Euler. No entanto, o quaternion raramente é usado como meio de comunicação entre um usuário e o controlador do robô porque não é intuitivo.

Definição detalhada dos ângulos de Euler

De longe, a maneira mais comum de comunicar uma orientação no espaço a um usuário, ou permitir que um usuário defina uma orientação, em um software CAD ou em um controlador de robô, é o uso de ângulos de Euler . Como o termo ângulos de Euler costuma ser mal utilizado, preparamos este tutorial interativo.

Os ângulos de Euler são um conjunto (ou melhor, uma sequência) de três ângulos, que podem ser denotados, por exemplo, por α , β e γ . (Muitas vezes, os ângulos de Euler são indicados por roll , argumento e guinada .) Os ângulos de Euler são definidos da seguinte forma:Considere dois quadros de referência 3D cartesianos destros, dos quais um será arbitrariamente chamado de fixo quadro e o outro será chamado de móvel quadro. Os dois referenciais coincidem inicialmente. Para definir a orientação de um terceiro quadro (todos os três quadros compartilham a mesma origem), o quadro móvel é trazido, na ordem mostrada abaixo, para coincidir com o terceiro quadro girando o quadro móvel

1. sobre o x , y , ou z eixo do quadro fixo ou o x' , y' , ou z' do quadro móvel, por α graus,
2. então sobre o x , y , ou z eixo do quadro fixo ou o x' , y' , ou z' do quadro móvel, por β graus,
3. e finalmente sobre o x , y , ou z eixo do quadro fixo ou o x' , y' , ou z' da moldura móvel, por γ graus.

A ordem em que as três rotações são feitas é importante. Assim, temos um total de 216 (6 ³ ) sequências possíveis: x →y →z , y →y →z , z →y →z , x’→y →z , y'→y →z , z'→y →z , e assim por diante. No entanto, uma sequência de três rotações em que duas rotações consecutivas são sobre o mesmo eixo (por exemplo, y →y →z ) não pode descrever uma orientação geral. Além disso, antes da primeira rotação, x coincide com x ', y coincide com y ', e z coincide com z '. Consequentemente, de todas essas 216 combinações, existem apenas doze sequências ordenadas únicas de rotações significativas, ou doze convenções de ângulo de Euler :XYX, XYZ, XZX, XZY, YXY, YXZ, YZX, YZY, ZXY, ZXZ, ZYX, ZYZ.
Dito isso, cada uma das doze combinações é equivalente a três outras sequências. Em outras palavras, cada convenção de ângulo de Euler pode ser descrita de quatro maneiras diferentes. Por exemplo, o ZYX convenção é equivalente às sequências z →y →x , x ‘→y ‘→z ', y →z ‘→x e y →x →z '. Felizmente, ninguém descreve os ângulos de Euler com sequências nas quais algumas rotações são sobre os eixos do referencial móvel e outras sobre os eixos fixos (por exemplo, sequências como y →z ‘→x e y →x →z ').
Assim, embora existam doze diferentes convenções de ângulo de Euler, cada uma é tipicamente descrita de duas maneiras diferentes:ou como uma sequência de rotações em torno dos eixos do referencial fixo ou como uma sequência de rotações em torno dos eixos de o quadro móvel. Therefore, it can be convenient to talk about fixed and mobile conventions, although they are equivalent. For example, the fixed XYZ Euler angle convention is described by the x →y →z  sequence, while the mobile ZYX Euler angle convention is described by the z’ →y’ →x’  sequence, but both are equivalent, as we will see later.
In robotics, FANUC and KUKA use the fixed XYZ Euler angle convention, while ABB uses the mobile ZYX Euler angle convention. Furthermore, Kawasaki, Omron Adept Technologies and Stäubli use the mobile ZYZ Euler angle convention. Finally, the Euler angles used in CATIA and SolidWorks are described by the mobile ZYZ Euler angle convention.

At Mecademic, we use the mobile XYZ Euler angle convention, and therefore describe Euler angles as the sequence x ‘→y ‘→z ‘. Why be different? The reason is that we used to offer a mechanical gripper for handling axisymmetric workpieces (see video), which was actuated by the motor of joint 6. A six-axis robot equipped with such a gripper can only control two rotational degrees of freedom, or more specifically the direction of the axis of joint 6, that is to say the direction of the axis of symmetry of the workpiece. In the chosen Euler angle convention, angles α  and β  define this direction, while angle γ  is ignored because it corresponds to a parasitic rotation that is uncontrollable.
Our applet below will help you understand Euler angles. You can select one of the twelve possible Euler angle conventions by clicking on the x, y, and z boxes of the first, second and third rotation. (The default Euler angle sequence is the one used by Mecademic.) To switch between rotations about the axes of the fixed or mobile frames, you need to double-click on any of these nine boxes. The axes of the fixed frame are drawn in gray while the axes of the mobile frame are in black. Axes x  and x ‘ are drawn in red, y  and y ‘ in green, and z  and z ‘ in blue. Gliding along any of the three blue horizontal arrows with your mouse changes the corresponding Euler angle. Alternatively, you can directly set the Euler angle value (in degrees) in the corresponding textbox bellow the arrow. Finally, you can drag your mouse over the reference frame to change the viewpoint.

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α :

β :

γ :

R  = R x (0°) R y (0°) R z (0°) =

1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 1.000

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Calculating Euler angles via rotation matrices

With the above applet, you will see the orientation of the mobile frame with respect to the fixed frame, for a given set of Euler angles, in the far right subfigure. Unfortunately, however, in practice, the situation is usually the opposite. You frequently have two reference frames, and you want to find the Euler angles that describe the orientation of one frame with respect to the other.
For orientations in which at least two axes are parallel, you could attempt to guess the Euler angles by trial and error. For example, look back at the image at the beginning of this tutorial and try to find the Euler angles used by Mecademic that define the orientation of the tool reference frame associated with the gripper, with respect to the flange reference frame. The answer is α  = −90°, β  = 0°, γ  = −90°. Not so easy to get, is it? To be more efficient therefore, you must learn about rotation matrices after all.
As we have already mentioned, any orientation in space can be represented with a 3×3 rotation matrix. For example, a rotation of α  about the axis x , a rotation of β  about the axis y , and a rotation of γ  about the axis z , respectively correspond to the following three rotation matrices:

R x (α ) =

1 0 0 0 cos(α ) −sin(α ) 0 sin(α ) cos(α )  ,

R y (β ) =

cos(β ) 0 sin(β ) 0 1 0 −sin(β ) 0 cos(β )  ,

R z (γ ) =

cos(γ ) −sin(γ ) 0 sin(γ ) cos(γ ) 0 0 0 1  .

We will refer to the above matrices as basic rotation matrices . To obtain the product of basic rotation matrices that corresponds to a sequence of rotations, start by writing the basic rotation matrix corresponding to the first rotation. For example, if the first rotation is about the x  (or x ‘) axis, then write R _x (ψ ), where ψ  is the angle of rotation. For every subsequent rotation, post-multiply (right multiply) the current result with the next rotation matrix, if the rotation is about an axis of the mobile reference frame, or pre-multiply (left multiply) the current result with the next rotation matrix, if the rotation is about an axis of the fixed reference frame. Use our applet to see the resulting product of basic rotation matrices. For example, the rotation sequence x ‘→y ‘→z ‘ corresponds to the product R  = R _x (α )R _y (β )R _z (γ ). Thus, the rotation matrix that corresponds to the Euler angles used by Mecademic is:

R (α , β , γ ) =

cos(β )cos(γ ) −cos(β )sin(γ ) sin(β ) cos(α )sin(γ ) + sin(α )sin(β )cos(γ ) cos(α )cos(γ ) − sin(α )sin(β )sin(γ ) −sin(α )cos(β ) sin(α )sin(γ ) − cos(α )sin(β )cos(γ ) sin(α )cos(γ ) + cos(α )sin(β )sin(γ ) cos(α )cos(β )  .

Therefore, for a given orientation, you will need to do two things:First, you need to find the rotation matrix that corresponds to your orientation. Second, you need to extract the Euler angles using a couple of simple equations. Let us first show you two ways to find your rotation matrix.
Consider the example shown in the figure below where we need to find the rotation matrix representing the orientation of frame F’  with respect to frame F . (Recall that we always represent the x  axis in red, the y  axis in green, and the z  axis in blue.)

Here, it is easy to see that if we align a third reference frame with the F , which will act as a mobile frame, then rotate this frame about its z ‘ axis at θ  degrees, and then rotate it about its y ‘ axis at φ  degrees, we will obtain the orientation of F . Thus, the rotation matrix we are looking for is:

R desired  = R z (θ )R y (φ ) =

cos(θ )cos(φ ) −sin(θ ) cos(θ )sin(φ ) sin(θ )cos(φ ) cos(θ ) sin(θ )sin(φ ) −sin(φ ) 0 cos(φ )  .

Alternatively, we can obtain the above rotation matrix directly. Its first, second and third columns represent the coordinates of the unit vectors along the x , y  and z  axis, respectively, of frame F’ , with respect to frame F .
Now that you have the rotation matrix that represents your desired orientation, you simply need to solve the system of nine scalar trigonometric equations R _desired  = R (α , β , γ ), for α , β , and γ . Fortunately, this problem has a generic solution and we’ll simply give you the equations to use.
Let the desired orientation of a frame F’  with respect to a frame F  be represented by the following rotation matrix:

R desired  =

r 1,1 r 1,2 r 1,3 r 2,1 r 2,2 r 2,3 r 3,1 r 3,2 r 3,3  .

The Euler angles (in degrees), in keeping with the mobile XYZ convention used by Mecademic, are then obtained according to the following two cases:
Case 1:  r _1,3  ≠ ±1 (i.e., the z’  axis of frame F’  is not parallel to the x  axis of frame F ).

β  = asin(r _1,3 ),   γ  = atan2(−r _1,2 , r _1,1 ),   α  = atan2(−r _2,3 , r _3,3 ).

Case 2:  r _1,3  = ±1 (i.e., the z’  axis of frame F’  is parallel to the x  axis of frame F ).

β  = r _1,3 90°,   γ  = atan2(r _2,1 , r _2,2 ),   α  = 0.

In the general Case 1, we actually have two sets of solutions where all angles are in the half-open range (−180°, 180°]. However, it is useless to calculate both sets of solutions, so only the first is presented, in which −90° < β  < 90°. Also, note that we use the function atan2(y, x) in our solution. Beware that in some programming languages, in some scientific calculators and in most spreadsheet software, the arguments of this function are inverted.
Finally, note that Case 2 corresponds to a so-called representation singularity . This singularity is present in any three-parameter representation of orientation in 3D space (not only in Mecademic’s choice of Euler angles). It is similar to the problem of representing points on a sphere by only two parameters. For example, longitude is not defined on Earth at the South and North Poles on the Earth. In other words, this singularity has nothing to do the singularities of mechanisms (e.g., the so-called gimbal lock ), which correspond to actual physical problems (e.g., the loss of a degree of freedom).

Exercice

Consider the following real-life situation that occured to us. We wanted to attach a FISNAR dispensing valve to the end-effector of our Meca500 robot arm. Naturally, the engineer who designed and machined the adapter didn’t care about Euler angles and was only concerned with machinability and reachability. In his design, there were essentially two rotations of 45°. Firstly, he used two diametrically oposite threaded holes on the robot flange to attach the adapter, which caused the first rotation of 45°. Secondly, the angle between the flange interface plane and the axis of the dispenser was 45°.

The figure above shows the actual installation (left) and the tool frame (right) that needed to be defined. Note that when using axi-symmetric tools, it is a common practice to allign the tool z-axis with the axis of the tool. This is particularly useful with the mobile XYZ Euler angle convention, since the redutant rotation about the axi-symmetric tool corresponds to the third Euler angle, γ. Thus, the first two Euler angles define the axis of the tool, while the third one can be used to choose the optimal configuration of the robot (i.e., far from singularities).

Returning to our example, we will show now that it is impossible to come up with the Euler angles according to the mobile XYZ convention by trial and error. Indeed, for this choice of tool reference frame, we can represent the final orientation as a sequence of the following two rotations: R  = R _z (45°)R _y (45°). From here, we can extract the Euler angles according to the mobile XYZ convention using the equations previously described and obtain: α  = −35.264°, β  = 30.000°, γ  = 54.735°. Are you convinced now that you do need to master Euler angles for situations like this?

Representational singularities and orientation errors

In the case of the mobile XYZ Euler angle convention, if the z’  axis of frame F’  is parallel to the x  axis of frame F , there are infinite pairs of α  and γ  that will define the same orientation. Obviously, you only need one to define your desired orientation, so we have arbitrarily set α  to be equal to zero. More specifically, if β  = 90°, then any combination of α  and γ , such than α + γ = φ , where φ is any value, will correspond to the same orientation, and be output by Mecademic’s controller as {0,90°,φ}. Similarly, if β  = −90°, then any combination of α  and γ , such that α − γ = φ , where φ is any value, will correspond to the same orientation, and be output by Mecademic’s controller as {0,−90°,−φ}. Note, however, that if you try to represent the orientation of a frame F’  with respect to a frame F  and the z’  axis of frame F’  is almost parallel to the x  axis of frame F  (i.e., β is very close to ±90°), the Euler angles will be very sensitive to numerical errors. In such a case, you should enter as many digits after the decimal point as possible when defining the orientation using Euler angles.
Consider the following situation which has caused worries to several users of our Meca500. You set the orientation of the tool reference frame with respect to the world reference frame to {0°, 90°, 0°}, which is a representational singularity. Then you keep this orientation and move the end-effector in space to several positions. At some positions, because of numerical noise, the controller does not detect the condition r _1,3  = ±1 (Case 2, as mentioned above) and calculates the Euler angles as if the orientation did not correspond to a representational singularity. Thus, the controller returns something like {41.345°, 90.001°, −41.345°}, which seems totally wrong and very far away from {0°, 90°, 0°}. Well it’s not.
Unlike position errors, which are measured as √(Δx ²  + Δy ²  + Δz ² ), orientation errors are not directly related with the variations in the Euler angles, especially close to representational singularities. To better understand this so-called non-Euclidean nature of Euler angles, consider the spherical coordinates used to represent a location on Earth. At the North Pole, the latitude is 90° (North), but what is the longitude? Longitude is not defined at the North Pole, or it can be any value. Now imagine that we move only 1 mm away from the North Pole in the direction of Greenwich. In this case, the latitude will be 89.99999999°, but the longitude will now have the value of 0°. Imagine once again that you return to the North Pole and move 1 mm in the direction of Tokyo. The new longitude will be approximately 140°. Between your two locations, the error in longitude is 140°! However, the real angular error will be approximately 0.00000002°.
The situation described above is similar in all other Euler angles conventions. Depending on the Euler angle convention, the correspoding representation singularity occurs when a specific axis of frame F’  is parallel to another specific axis of frame F . In such a representation singularity, the first and third rotation become dependant.
In conclusion, unless you master Euler angles (or use sophisticated offline programming software), and more specifically the convention used for programming your robot, you will hardly be able to program anything but simple pick and place operations. Because robotics is not simple, we do our best to help you understand the basics.

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