Introdução à Álgebra Booleana

As regras matemáticas são baseadas nos limites de definição que colocamos nas quantidades numéricas particulares tratadas.

Quando dizemos que 1 + 1 =2 ou 3 + 4 =7, estamos implicando no uso de quantidades inteiras:os mesmos tipos de números que todos aprendemos a contar no ensino fundamental.

O que a maioria das pessoas supõe serem regras autoevidentes da aritmética - válidas em todos os momentos e para todos os propósitos - na verdade dependem do que definimos como um número.

Por exemplo, ao calcular grandezas em circuitos AC, descobrimos que as grandezas de número “real” que nos serviram tão bem na análise de circuitos DC são inadequadas para a tarefa de representar grandezas AC.

Sabemos que as tensões aumentam quando conectados em série, mas também sabemos que é possível conectar uma fonte CA de 3 volts em série com uma fonte CA de 4 volts e terminar com uma tensão total de 5 volts (3 + 4 =5) .

Isso significa que as regras invioláveis ​​e evidentes da aritmética foram violadas?

Não, significa apenas que as regras dos números “reais” não se aplicam aos tipos de grandezas encontradas em circuitos CA, onde cada variável tem uma magnitude e uma fase.

Consequentemente, devemos usar um tipo diferente de quantidade numérica, ou objeto, para circuitos AC ( complexo números, em vez de reais números), e junto com esse sistema diferente de números vem um conjunto diferente de regras nos dizendo como eles se relacionam entre si.

Uma expressão como “3 + 4 =5” não faz sentido no escopo e na definição de números reais, mas se encaixa perfeitamente no escopo e na definição de números complexos (pense em um triângulo retângulo com lados opostos e adjacentes de 3 e 4, com uma hipotenusa de 5).

Como os números complexos são bidimensionais, eles são capazes de se “somar” trigonométricamente como uma dimensão real os números não podem.

Leis matemáticas e "lógica difusa"

A lógica é muito parecida com a matemática nesse aspecto:as chamadas “Leis” da lógica dependem de como definimos o que é uma proposição.

O filósofo grego Aristóteles fundou um sistema de lógica baseado em apenas dois tipos de proposições:verdadeiras e falsas.

Sua definição bivalente (de dois modos) da verdade levou às quatro leis fundamentais da lógica:a Lei da Identidade (A é A); a Lei da Não-contradição (A não é não-A); a Lei do Meio Excluído (A ou não A); e a Lei da Inferência Racional .

Essas chamadas Leis funcionam dentro do escopo da lógica, onde uma proposição é limitada a um de dois valores possíveis, mas podem não se aplicar nos casos em que as proposições podem conter valores diferentes de "verdadeiro" ou "falso".

Na verdade, muito trabalho foi feito e continua a ser feito em "valores múltiplos" ou fuzzy lógica, onde as proposições podem ser verdadeiras ou falsas em um grau limitado .

Em tal sistema de lógica, “Leis” como a Lei do Meio Excluído simplesmente não se aplicam, porque se baseiam no pressuposto da bivalência.

Da mesma forma, muitas premissas que violariam a Lei da Não-contradição na lógica aristotélica têm validade na lógica “fuzzy”. Novamente, os limites de definição de valores proposicionais determinam as Leis que descrevem suas funções e relações.

O nascimento da álgebra booleana

O matemático inglês George Boole (1815-1864) procurou dar forma simbólica ao sistema lógico de Aristóteles.

Boole escreveu um tratado sobre o assunto em 1854, intitulado Uma investigação das leis do pensamento, na qual se fundamentam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades , que codificou várias regras de relacionamento entre grandezas matemáticas limitadas a um de dois valores possíveis:verdadeiro ou falso, 1 ou 0.

Seu sistema matemático ficou conhecido como álgebra booleana.

Todas as operações aritméticas realizadas com quantidades booleanas têm apenas um de dois resultados possíveis: 1 ou 0 .

Não existe algo como “ 2 ”Ou“ -1 ”Ou“ 1/2 ”No mundo booleano. É um mundo em que todas as outras possibilidades são invalidadas por decreto.

Como se pode imaginar, esse não é o tipo de matemática que você deseja usar ao equilibrar um talão de cheques ou calcular a corrente por meio de um resistor.

No entanto, Claude Shannon, famoso no MIT, reconheceu como a álgebra booleana pode ser aplicada a circuitos liga e desliga , onde todos os sinais são caracterizados como “ alto ”(1) ou“ baixo ”(0).

Sua tese de 1938, intitulada A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits , colocou o trabalho teórico de Boole em uso de uma maneira que Boole nunca poderia ter imaginado, dando-nos uma ferramenta matemática poderosa para projetar e analisar circuitos digitais.

Álgebra Booleana vs. "Álgebra Normal"

Neste capítulo, você encontrará muitas semelhanças entre a álgebra booleana e a álgebra “normal”, o tipo de álgebra que envolve os chamados números reais.

Basta ter em mente que o sistema de números que define a álgebra booleana é severamente limitado em termos de escopo e que só pode haver um dos dois valores possíveis para qualquer variável booleana:1 ou 0.

Conseqüentemente, as “Leis” da álgebra booleana freqüentemente diferem das “Leis” da álgebra de números reais, tornando possíveis afirmações como 1 + 1 =1, que normalmente seriam consideradas absurdas.

Uma vez que você compreende a premissa de que todas as quantidades na álgebra booleana são limitadas às duas possibilidades de 1 e 0, e o princípio filosófico geral das Leis dependendo de definições quantitativas, o “absurdo” da álgebra booleana desaparece.

Álgebra Booleana vs. “Álgebra Normal”

Neste capítulo, você encontrará muitas semelhanças entre a álgebra booleana e a álgebra “normal”, o tipo de álgebra que envolve os chamados números reais.

Basta ter em mente que o sistema de números que define a álgebra booleana é severamente limitado em termos de escopo e que só pode haver um dos dois valores possíveis para qualquer variável booleana:1 ou 0.

Conseqüentemente, as “Leis” da álgebra booleana freqüentemente diferem das “Leis” da álgebra de números reais, tornando possíveis afirmações como 1 + 1 =1, que normalmente seriam consideradas absurdas.

Uma vez que você compreende a premissa de que todas as quantidades na álgebra booleana são limitadas às duas possibilidades de 1 e 0, e o princípio filosófico geral das Leis dependendo de definições quantitativas, o “absurdo” da álgebra booleana desaparece.

Números booleanos vs. números binários

Deve ficar claro que os números booleanos não são iguais a binários números.

Enquanto os números booleanos representam um sistema matemático inteiramente diferente dos números reais, os binários nada mais são do que uma notação alternativa para os números reais.

Os dois são frequentemente confundidos porque a matemática booleana e a notação binária usam as mesmas duas cifras:1 e 0.

A diferença é que as quantidades booleanas são restritas a um único bit (1 ou 0), enquanto os números binários podem ser compostos de muitos bits somando-se na forma ponderada por lugar a um valor de qualquer tamanho finito.

O número binário 10011 ₂ (“Dezenove”) não tem mais lugar no mundo booleano do que o número decimal 2 ₁₀ (“Dois”) ou o número octal 32 ₈ (“Vinte e seis”).



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