Aritmética Booleana: Adição, Multiplicação e Complementação em Lógica Digital

Iniciemos nossa exploração da álgebra booleana somando números:

 

 

As três primeiras somas fazem perfeito sentido para qualquer um familiar com adição elementar. A última soma, contudo, é frequentemente fonte de confusão em eletrônica digital porque parece contradizer regras ordinárias de aritmética.

Ela contradiz regras para adição de números reais, mas não para valores booleanos. Em álgebra booleana toda quantidade pode ser apenas 0 ou 1; não existe "2". Assim, quando avaliamos 1 + 1, o resultado não pode ser 0, logo deve ser 1.

Seja somando dois termos ou muitos, o padrão permanece o mesmo:

 

 

Porta OR

Observe que as somas de dois termos no primeiro conjunto de equações correspondem à tabela-verdade de uma porta OR. Adição booleana corresponde portanto à operação lógica OR, que também é representada por contatos de chave em paralelo:

 

 

Não há subtração na matemática booleana porque subtração requer números negativos, que não existem neste domínio. Da mesma forma, divisão é excluída pois é essencialmente subtração composta.

 

Porta AND

Multiplicação booleana segue as mesmas regras que multiplicação de números reais: qualquer valor multiplicado por 0 é 0, e qualquer valor multiplicado por 1 permanece inalterado:

 

 

Este conjunto de equações espelha a tabela-verdade para uma porta AND. Portanto, multiplicação booleana mapeia diretamente à operação lógica AND, que também é ilustrada por contatos de chave em série:

 

 

Como álgebra convencional, álgebra booleana usa letras para representar variáveis, mas elas são sempre maiúsculas. Como variável booleana pode ser apenas 0 ou 1, ela tem complemento — o valor oposto. Por exemplo, se A = 0, então complemento de A é 1.

Complementação é indicada por barra acima da variável, como mostrado abaixo:

 

Porta NOT

Em notação, complemento de A é escrito como A' ou Ā. Símbolo de barra é mais comum que símbolo primo, que também aparece em cálculo.

Complementação é representada em circuitaria por porta NOT ou contato de relé normalmente-fechado:

 

 

Estas definições estabelecem regras básicas da aritmética booleana: adição é OR, multiplicação é AND, e complementação é NOT. Subtração e divisão não são definidas.

Exploraremos identidades booleanas na próxima seção.

 

REVISÃO:

• Adição booleana ⇔ lógica OR, contatos de chave em paralelo.
• Multiplicação booleana ⇔ lógica AND, contatos de chave em série.
• Complementação booleana ⇔ lógica NOT, contatos de relé normalmente-fechados.

 

PLANILHAS RELACIONADAS:

• Planilha de Álgebra Booleana