Entendendo Sinais de Onda Quadrada: Fundamentos e Aplicações

Introdução

Descobriu-se que qualquer forma de onda repetitiva, não-senoidal, pode ser igualada a uma combinação de tensão DC, ondas senoidais e/ou cossenoidais (ondas senoidais com deslocamento de fase de 90 graus) em várias amplitudes e frequências.

Isso é verdade não importa o quão estranha ou convoluta a forma de onda em questão possa ser. Desde que ela se repita regularmente ao longo do tempo, ela é redutível a esta série de ondas senoidais.

Em particular, descobriu-se que ondas quadradas são matematicamente equivalentes à soma de uma onda senoidal naquela mesma frequência, mais uma série infinita de ondas senoidais de frequência múltipla ímpar em amplitude decrescente:

Esta verdade sobre formas de onda pode parecer estranha demais para acreditar. No entanto, se uma onda quadrada é realmente uma série infinita de harmônicas de onda senoidal somadas, razoavelmente devemos ser capazes de provar isso somando várias harmônicas de onda senoidal para produzir uma aproximação próxima de uma onda quadrada.

Este raciocínio não é apenas sólido, mas facilmente demonstrado com SPICE.

O circuito que simularemos nada mais é do que várias fontes de tensão AC senoidal das amplitudes e frequências adequadas conectadas em série. Usaremos SPICE para plotar as formas de onda de tensão através de adições sucessivas de fontes de tensão, assim:

Uma onda quadrada é aproximada pela soma de harmônicas.

Nesta simulação SPICE particular, somei as fontes de tensão harmônicas 1ª, 3ª, 5ª, 7ª e 9ª em série para um total de cinco fontes de tensão AC. A frequência fundamental é 50 Hz e cada harmônica é, claro, um múltiplo inteiro dessa frequência.

Os valores de amplitude (tensão) não são números aleatórios; eles foram obtidos através das equações mostradas na série de frequência (a fração 4/π multiplicada por 1, 1/3, 1/5, 1/7, etc. para cada uma das harmônicas ímpares crescentes).

building a squarewave
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + ... + 9th harmonics
.end

Narrarei a análise passo a passo, explicando o que estamos observando. Neste primeiro gráfico, vemos a onda senoidal de frequência fundamental de 50 Hz por si só. É nada mais que uma forma de onda senoidal pura, sem conteúdo harmônico adicional. Este é o tipo de forma de onda produzido por uma fonte de energia AC ideal:

Onda senoidal pura de 50 Hz.

Em seguida, vemos o que acontece quando esta forma de onda limpa e simples é combinada com a terceira harmônica (três vezes 50 Hz, ou 150 Hz). De repente, não parece mais uma onda senoidal limpa:

Soma da 1ª (50 Hz) e 3ª (150 Hz) harmônicas aproxima uma onda quadrada de 50 Hz.

Os tempos de subida e descida entre ciclos positivos e negativos são muito mais íngremes agora, e as cristas da onda estão mais próximas de se tornarem planas como uma onda quadrada. Observe o que acontece quando adicionamos a próxima frequência harmônica ímpar:

Soma da 1ª, 3ª e 5ª harmônicas aproxima onda quadrada.

A mudança mais notável aqui é como as cristas da onda se achataram ainda mais. Há vários vales e cristas em cada extremidade da onda, mas aqueles vales e cristas são menores em amplitude do que antes. Observe novamente enquanto adicionamos a próxima forma de onda harmônica ímpar à mistura:

Soma da 1ª, 3ª, 5ª e 7ª harmônicas aproxima onda quadrada.

Aqui podemos ver a onda se tornando mais plana em cada pico. Finalmente, adicionando a 9ª harmônica, a quinta fonte de tensão senoidal em nosso circuito, obtemos este resultado:

Soma da 1ª, 3ª, 5ª, 7ª e 9ª harmônicas aproxima onda quadrada.

O resultado final de somar as primeiras cinco formas de onda harmônicas ímpares juntas (todas nas amplitudes adequadas, claro) é uma aproximação próxima de uma onda quadrada. O ponto de fazer isso é ilustrar como podemos construir uma onda quadrada a partir de múltiplas ondas senoidais em diferentes frequências, para provar que uma onda quadrada pura é realmente equivalente a uma série de ondas senoidais.

Quando uma tensão AC de onda quadrada é aplicada a um circuito com componentes reativos (capacitores e indutores), esses componentes reagem como se estivessem expostos a várias tensões de onda senoidal de diferentes frequências, o que de fato estão.

O fato de que ondas repetitivas, não-senoidais, são equivalentes a uma série definida de tensão DC aditiva, ondas senoidais e/ou cossenoidais é uma consequência de como as ondas funcionam: uma propriedade fundamental de todos os fenômenos relacionados a ondas, elétricos ou não.

O processo matemático de reduzir uma onda não-senoidal nestas frequências constituintes é chamado de análise de Fourier, cujos detalhes estão bem além do escopo deste texto. No entanto, algoritmos de computador foram criados para realizar esta análise em alta velocidade em formas de onda reais, e sua aplicação em qualidade de energia AC e análise de sinais é ampla.

SPICE tem a capacidade de amostrar uma forma de onda e reduzi-la em suas harmônicas constituintes de onda senoidal por meio de um algoritmo de Transformada de Fourier, emitindo a análise de frequência como uma tabela de números. Vamos tentar isso em uma onda quadrada, que já sabemos ser composta de ondas senoidais harmônicas ímpares:

squarewave analysis netlist
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end

A opção pulse na linha do netlist descrevendo a fonte de tensão v1 instrui o SPICE a simular uma forma de onda "pulso" quadrada, neste caso uma que é simétrica (tempo igual para cada meio ciclo) e tem amplitude de pico de 1 volt. Primeiro plotaremos a onda quadrada a ser analisada:

Onda quadrada para análise de Fourier SPICE

Em seguida, imprimiremos a análise de Fourier gerada pelo SPICE para esta onda quadrada:

fourier components of transient response v(1)
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

Gráfico dos resultados da análise de Fourier.

Aqui, (Figura acima) o SPICE decompôs a forma de onda em um espectro de frequências senoidais até a nona harmônica, mais uma pequena tensão DC rotulada componente DC.

Tive que informar ao SPICE a frequência fundamental (para uma onda quadrada com período de 20 milissegundos, esta frequência é 50 Hz), para que soubesse como classificar as harmônicas. Observe como os valores são pequenos para todas as harmônicas pares (2ª, 4ª, 6ª, 8ª), e como as amplitudes das harmônicas ímpares diminuem (1ª é a maior, 9ª é a menor).

Esta mesma técnica de "Transformada de Fourier" é frequentemente usada em instrumentação de potência computadorizada, amostrando a(s) forma(s) de onda AC e determinando o conteúdo harmônico. Um algoritmo comum de computador (sequência de passos de programa para realizar uma tarefa) para isso é a Transformada Rápida de Fourier ou função FFT.

Você não precisa se preocupar exatamente como essas rotinas de computador funcionam, mas esteja ciente de sua existência e aplicação.

Esta mesma técnica matemática usada no SPICE para analisar o conteúdo harmônico de ondas pode ser aplicada à análise técnica de música: decompor qualquer som particular em suas frequências constituintes de onda senoidal.

De fato, você pode já ter visto um dispositivo projetado para fazer exatamente isso sem perceber o que era! Um equalizador gráfico é um equipamento de estéreo de alta fidelidade que controla (e às vezes exibe) a natureza do conteúdo harmônico da música.

Equipado com vários botões ou alavancas deslizantes, o equalizador é capaz de atenuar seletivamente (reduzir) a amplitude de certas frequências presentes na música, para "personalizar" o som para o benefício do ouvinte. Tipicamente, haverá um display "gráfico de barras" ao lado de cada alavanca de controle, exibindo a amplitude de cada frequência particular.

Equalizador gráfico de áudio Hi-Fi.

Um dispositivo construído estritamente para exibir — não controlar — as amplitudes de cada faixa de frequência para um sinal de múltiplas frequências é tipicamente chamado de analisador de espectro.

O design de analisadores de espectro pode ser tão simples quanto um conjunto de circuitos "filtro" (veja o próximo capítulo para detalhes) projetados para separar as diferentes frequências umas das outras, ou tão complexo quanto um computador digital de propósito especial rodando um algoritmo FFT para dividir matematicamente o sinal em seus componentes harmônicos.

Analisadores de espectro são frequentemente projetados para analisar sinais de frequência extremamente alta, como aqueles produzidos por transmissores de rádio e hardware de rede de computadores. Nessa forma, eles frequentemente têm uma aparência como a de um osciloscópio:

Analisador de espectro mostra amplitude como função de frequência.

Como um osciloscópio, o analisador de espectro usa um CRT (ou display de computador imitando um CRT) para exibir um gráfico do sinal.

Diferente de um osciloscópio, este gráfico é amplitude sobre frequência em vez de amplitude sobre tempo. Em essência, um analisador de frequência dá ao operador um gráfico de Bode do sinal: algo que um engenheiro poderia chamar de análise de domínio da frequência em vez de domínio do tempo.

O termo "domínio" é matemático: uma palavra sofisticada para descrever o eixo horizontal de um gráfico. Assim, o gráfico de amplitude (vertical) sobre tempo (horizontal) de um osciloscópio é uma análise de "domínio do tempo", enquanto o gráfico de amplitude (vertical) sobre frequência (horizontal) de um analisador de espectro é uma análise de "domínio da frequência".

Quando usamos SPICE para plotar amplitude de sinal (tensão ou corrente) sobre uma faixa de frequências, estamos realizando análise de domínio da frequência.

Por favor, note como a análise de Fourier da última simulação SPICE não é "perfeita". Idealmente, as amplitudes de todas as harmônicas pares deveriam ser absolutamente zero, e o componente DC também. Novamente, isso não é tanto uma peculiaridade do SPICE quanto uma propriedade de formas de onda em geral.

Uma forma de onda de duração infinita (número infinito de ciclos) pode ser analisada com precisão absoluta, mas quanto menos ciclos disponíveis para o computador analisar, menos precisa a análise. É apenas quando temos uma equação descrevendo uma forma de onda em sua totalidade que a análise de Fourier pode reduzi-la a uma série definida de formas de onda senoidais.

Quanto menos vezes uma onda cicla, menos certa é sua componente de frequência. Levando este conceito ao extremo lógico, um pulso curto — uma forma de onda que nem completa um ciclo — na verdade não tem frequência, mas atua como uma faixa infinita de frequências. Este princípio é comum a todos fenômenos baseados em ondas, não apenas tensões e correntes AC.

Basta dizer que o número de ciclos e a certeza das componentes de frequência de uma forma de onda estão diretamente relacionados.

Poderíamos melhorar a precisão de nossa análise aqui deixando a onda oscilar por muitos ciclos, e o resultado seria uma análise de espectro mais consistente com o ideal. Na análise seguinte, omiti o gráfico da forma de onda por brevidade — é apenas uma onda quadrada muito longa:

square wave
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.option limpts=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end
fourier components of transient response v(1)
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

Análise de Fourier melhorada.

Observe como esta análise (Figura acima) mostra menos componente de tensão DC e amplitudes menores para cada uma das ondas senoidais de frequência harmônica par, tudo porque deixamos o computador amostrar mais ciclos da onda. Novamente, a imprecisão da primeira análise não é tanto uma falha do SPICE quanto uma propriedade fundamental de ondas e análise de sinais.

REVISÃO

• Ondas quadradas são equivalentes a uma onda senoidal na mesma frequência (fundamental) somada a uma série infinita de harmônicas senoidais de múltiplo ímpar em amplitudes decrescentes.
• Algoritmos de computador existem que são capazes de amostrar formas de onda e determinar seus componentes senoidais constituintes. O algoritmo de Transformada de Fourier (particularmente a Transformada Rápida de Fourier, ou FFT) é comumente usado em programas de simulação de circuitos como SPICE e em equipamentos de medição eletrônica para determinar qualidade de energia.

PLANILHAS RELACIONADAS

• Planilha de Sinais de Onda Quadrada