MATLAB para Cálculo: Equações Diferenciais, Integrais e Limites

O MATLAB resolve problemas de cálculo diferencial e integral, equações diferenciais de qualquer ordem e cálculo de limites. Permite plotar gráficos de funções complexas e encontrar máximos, mínimos e pontos estacionários resolvendo a função e sua derivada.

Este capítulo aborda pré-cálculo: limites e propriedades. O próximo (Differential) cobre derivadas e equações diferenciais. O seguinte (Integration) aborda cálculo integral.

Calculando Limites

A função limit calcula limites. Forma básica: limit(expression) encontra o limite quando a variável independente tende a zero. Requer syms para variáveis simbólicas.

Exemplos

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))        % x→0 → ans = 5/7
limit((x - 3)/(x-1), 1)           % x→1 → ans = NaN (infinito)
limit(x^2 + 5, 3)                 % x→3 → ans = 14

Sintaxe geral: limit(expr, var, a) para limite quando var → a.

Limites no Octave

Usa pacote symbolic e subs.

pkg load symbolic; symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)  % ans = 0.7142857...

Verificação das Propriedades Básicas dos Limites

Teorema do Limite Algébrico: propriedades de soma, subtração, multiplicação, divisão.

Considere f(x) = (3x+5)/(x-3) e g(x) = x^2+1. Calcule limites quando x→4.

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3); g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4); l2 = limit(g, 4);
lAdd = limit(f+g, 4); lSub = limit(f-g, 4);
lMult = limit(f*g, 4); lDiv = limit(f/g, 4);

Resultado: l1=17, l2=17, lAdd=34, lSub=0, lMult=289, lDiv=1 – confirmando as propriedades.

Limites Laterais (Esquerda e Direita)

Quando uma função tem descontinuidade, o limite não existe se limites laterais forem diferentes.

Função: f(x) = (x-3)/|x-3|. Mostre que limite em x=3 não existe.

1. Plotar gráfico mostrando descontinuidade.
2. Calcular limites laterais com 'left' e 'right'.

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')   % -1
r = limit(f,x,3,'right')  % 1

Como l ≠ r, o limite não existe.