Guia MATLAB:Computando Derivados Polinomiais de Forma Eficiente

Em matemática, uma derivada representa a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Em termos simples, diz-nos como uma função está a mudar num determinado ponto. Os derivados são fundamentais no cálculo e são amplamente utilizados em campos como física, engenharia e economia para modelar mudanças e movimentos.

Por exemplo, se você tiver uma função que descreve a posição de um carro ao longo do tempo, a derivada dessa função lhe dará a velocidade do carro (taxa de mudança de posição).

Derivadas de Polinômios

Um polinômio é uma expressão matemática que consiste em variáveis elevadas a diferentes potências, combinadas com coeficientes. Por exemplo, o polinômio P(x) =3x2 + 2x + 5 é um polinômio de segundo grau.

A derivada de uma função polinomial é encontrada aplicando uma regra simples:para cada termo, multiplique o coeficiente pelo expoente e depois reduza o expoente por 1. Este processo é repetido para cada termo do polinômio.

Por exemplo, considere o polinômio:

04 
 A derivada, P(x), é calculada como - 
 
 
Para o termo 3x3:multiplique 3 por 3 (o expoente), resultando em 9x2.
 
Para o termo 4x2:multiplique 4 por 2, resultando em 8x.
 
Para o termo 2x:multiplique 2 por 1, resultando em 2.
 
O termo constante (1) tem uma derivada de 0.
 
 
 Então, a derivada é - 
 
13 
Derivadas em MATLAB
 
 O MATLAB facilita o cálculo de derivadas de polinômios usando funções integradas. Um polinômio no MATLAB é representado por um vetor contendo seus coeficientes, ordenados por potências decrescentes da variável. 
 
 Para encontrar a derivada de um polinômio, o MATLAB fornece a função polyder. 
 
Sintaxe
 
21 
Explicação da sintaxe
 
 k =polyder(p) calcula a derivada de um polinômio dado pelos coeficientes em p, resultando em um novo polinômio k(x) que representa a derivada d/dx p(x). 
 
 k =polyder(a,b) calcula a derivada do produto de dois polinômios a e b, resultando em um novo polinômio k(x) que representa. 
 
 $$\matemática{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$ 
 
 [q, d] =polyder(a, b) calcula a derivada do quociente de dois polinômios a e b, retornando dois polinômios:q(x) (o numerador) e d(x) (o denominador), representando a derivada de a(x)/b(x). 
 
Exemplo 1:Calculando derivada usando polyder(p)
 
 Considere que temos um polinômio 
 
35 
 Este polinômio pode ser representado pelo vetor de seus coeficientes no MATLAB - 
 
43 
 Para calcular a derivada deste polinômio, usamos a função polyder no MATLAB - 
 
51 
 Na execução do código na janela de comando do matlab, a saída é. 
 
64 
 Para o termo 4x3, a derivada é 12x2 (multiplique o coeficiente 4 pelo expoente 3 e reduza o expoente por 1). 
 
 Para o termo 3x2, a derivada é 6x. 
 
 Para o termo 2x, a derivada é 2. 
 
 Para o termo constante 1 tem uma derivada de 0. 
 
 Assim, o polinômio derivado é:
 
76 
 No Matlab, o resultado de k será:[12 6 2] 
 
Exemplo 2:Outro exemplo para encontrar derivadas de um polinômio
 
 Considere o seguinte polinômio 
 
83 
 Este polinômio pode ser representado pelo vetor de seus coeficientes no MATLAB - 
 
93 
 Para encontrar a derivada deste polinômio faremos uso da função polyder no matlab. 
 
100 
 Este comando retornará os coeficientes da derivada do polinômio p. 
 
 Quando você executa o código na janela de comando do matlab, a saída é:
 
118 
 O vetor k =[20 -6 14 -3] representa o polinômio 
 
123 
Exemplo 3:Derivada do Produto de Dois Polinômios Usando polyder(a, b)
 
 Vamos considerar dois polinômios 
 
137 
 Esses polinômios podem ser representados por vetores de seus coeficientes no MATLAB:
 
140 
 Para calcular a derivada do produto desses dois polinômios, usamos a função polyder com dois argumentos de entrada. 
 
152 
 Isso retornará os coeficientes da derivada do produto de a(x) e b(x). 
 
 Quando você executa o código na janela de comando do matlab, a saída que obtemos é:
 
169 
 Então, o polinômio derivado é:k(x) =24x2 + 44x + 19 
 
Exemplo 4:Derivada de dois polinômios dados
 
 Considere dois polinômios diferentes. 
 
172 
 Esses polinômios podem ser representados pelos seguintes vetores de coeficientes no MATLAB. 
 
189 
 Para calcular a derivada do produto desses dois polinômios, usamos a função polyder com os vetores aeb como entradas 
 
190 
 Este comando retornará os coeficientes da derivada do produto de a(x) e b(x). 
 
 Quando o código é executado na janela de comando do matlab, a saída é:
 
205 
 Então, o polinômio derivado é - 
 
213 
Exemplo 5:Derivada do Quociente de Dois Polinômios Usando [q, d] =polyder(a, b)
 
 Vamos considerar dois polinômios - 
 
222 
 Esses polinômios podem ser representados por vetores de seus coeficientes no Matlab. 
 
231 
 Para calcular a derivada do quociente a(x) / b(x), usamos a função polyder com dois argumentos de saída q e d. 
 
245 
 Isso retornará dois polinômios:q(x) (o numerador) e d(x) (o denominador) da derivada de a(x) / b(x). 
 
 Quando o código é executado na janela de comando do matlab, a saída é:
 
254 

            

            

               Visualize expressões matemáticas no MATLAB:guia de plotagem 2D e 3D         
                MATLAB:Laplaciano de Filtro Gaussiano para Detecção de Bordas