Diagramas e conjuntos de Venn

Os matemáticos usam diagramas de Venn para mostrar as relações lógicas de conjuntos (coleções de objetos) entre si. Talvez você já tenha visto os diagramas de Venn em sua álgebra ou em outros estudos matemáticos. Se tiver, você deve se lembrar dos círculos sobrepostos e do sindicato e intersecção de conjuntos.

Vamos revisar os círculos sobrepostos do diagrama de Venn. Adotaremos os termos OR e AND em vez de união e interseção, uma vez que essa é a terminologia usada na eletrônica digital.

O diagrama de Venn faz a ponte entre a álgebra booleana de um capítulo anterior e o mapa de Karnaugh. Relacionaremos o que você já sabe sobre álgebra booleana com os diagramas de Venn e, em seguida, faremos a transição para os mapas de Karnaugh.

Um conjunto é uma coleção de objetos de um universo, conforme mostrado abaixo. Os membros do conjunto são os objetos contidos no conjunto. Os membros do conjunto geralmente têm algo em comum; entretanto, isso não é um requisito.

Fora do universo de números reais, por exemplo, o conjunto de todos os inteiros positivos {1,2,3…} é um conjunto. O conjunto {3,4,5} é um exemplo de um conjunto menor ou subconjunto do conjunto de todos os inteiros positivos. Outro exemplo é o conjunto de todos os homens fora do universo dos universitários. Você pode pensar em mais alguns exemplos de conjuntos?



Acima, à esquerda, temos um diagrama de Venn mostrando o conjunto A no círculo dentro do universo U, a área retangular. Se tudo dentro do círculo é A, então qualquer coisa fora do círculo não é A. Assim, acima do centro, rotulamos a área retangular fora do círculo A como A - não em vez de U. Mostramos B e B - não em a maneira similar.

O que acontece se A e B estiverem contidos no mesmo universo? Mostramos quatro possibilidades.



Vamos dar uma olhada em cada uma das quatro possibilidades, conforme mostrado acima.



O primeiro exemplo mostra que o conjunto A e o conjunto B não têm nada em comum de acordo com o diagrama de Venn. Não há sobreposição entre as regiões hachuradas circulares A e B. Por exemplo, suponha que os conjuntos A e B contenham os seguintes membros:

 conjunto A ={1,2,3,4} conjunto B ={5,6,7,8} 

Nenhum dos membros do conjunto A está contido no conjunto B, nem nenhum dos membros de B está contido em A. Assim, não há sobreposição dos círculos.

No segundo exemplo do diagrama de Venn acima, o Conjunto A está totalmente contido no conjunto B. Como podemos explicar essa situação? Suponha que os conjuntos A e B contenham os seguintes membros:

 conjunto A ={1,2} conjunto B ={1,2,3,4,5,6,7,8} 

Todos os membros do conjunto A também são membros do conjunto B. Portanto, o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Uma vez que todos os membros do conjunto A são membros do conjunto B, o conjunto A é totalmente desenhado dentro dos limites do conjunto B.

Há um quinto caso, não mostrado, com os quatro exemplos. Dica:é semelhante ao último (quarto) exemplo. Desenhe um diagrama de Venn para este quinto caso.



O terceiro exemplo acima mostra a sobreposição perfeita entre o conjunto A e o conjunto B. Parece que ambos os conjuntos contêm os mesmos membros idênticos. Suponha que os conjuntos A e B contenham o seguinte:

 conjunto A ={1,2,3,4} conjunto B ={1,2,3,4} 

Portanto,

 Conjunto A =Conjunto B 

Os conjuntos E B são idênticos porque ambos têm os mesmos membros idênticos. As regiões A e B no diagrama de Venn correspondente acima se sobrepõem completamente. Se houver qualquer dúvida sobre o que os padrões acima representam, consulte qualquer figura acima ou abaixo para ter certeza de como as regiões circulares pareciam antes de serem sobrepostas.



O quarto exemplo acima mostra que há algo em comum entre o conjunto A e o conjunto B na região de sobreposição. Por exemplo, selecionamos arbitrariamente os seguintes conjuntos para ilustrar nosso ponto:

 conjunto A ={1,2,3,4} conjunto B ={3,4,5,6} 

O Conjunto A e o Conjunto B têm os elementos 3 e 4 em comum. Esses elementos são a razão para a sobreposição no centro comum a A e B. Precisamos examinar mais de perto essa situação.