Entendendo Relações Booleanas Usando Diagramas de Venn

A quarta ilustração mostra o conjunto A sobreposto parcialmente ao conjunto B. Primeiro consideramos a área total hachurada que representa a união de ambos os conjuntos, e depois isolamos a interseção.

Abaixo à esquerda, uma região hachurada horizontal vermelha denota A; uma região hachurada vertical azul denota B.

Quando agregamos todas as regiões hachuradas – independentemente do estilo de hachura – a área resultante corresponde à função OR inclusiva de A e B. A expressão booleana é A + B.

No diagrama, a banda hachurada a 45° representa a união. Qualquer coisa fora desta área hachurada é o complemento, (A + B)'.

Em seguida, examinamos a interseção de A e B. A zona duplamente hachurada à esquerda representa a função AND exclusiva, expressa como AB. A região fora da área duplamente hachurada é (AB)'.

Observe que alguns elementos de A pertencem a (AB)', e o mesmo para B. No entanto, nenhum elemento de (AB)' está dentro da região duplamente hachurada AB.

O segundo exemplo é repetido à esquerda. O quinto exemplo, esboçado anteriormente, aparece à direita para comparação. Em seções subsequentes, identificaremos elementos que estão inteiramente contidos dentro de outro conjunto usando mapas de Karnaugh.

Agora introduzimos uma expressão booleana que inclui uma variável complementada.

Exemplo: Visualize a expressão A'B (A NÃO E B) com um diagrama de Venn.

Solução: Começando no canto superior esquerdo, sombreie A' com hachura horizontal vermelha. No canto superior direito, sombreie B com hachura vertical azul. A região sobreposta no canto inferior esquerdo representa A'B. A maioria dos alunos ilustra toda a área duplamente hachurada à direita para clareza. O complemento (A'B)' é a área não sombreada fora desta região.

Em seguida, abordamos a operação OR com variável complementada.

Exemplo: Determine a região para B' + A.

Solução: À direita, comece com B, sombreie-o, então complemente para B'. Sobreponha A por cima. A união de todas as áreas hachuradas, independentemente do estilo, dá A + B'. Isso é mostrado como uma única região hachurada à esquerda para clareza.

Exemplo: Encontre o complemento (A + B')'.

Solução: A área branca clara no diagrama esquerdo corresponde a (A + B')'. A banda hachurada verde a 45° ilustrou previamente a união A + B'. Comparando o complemento à região duplamente hachurada AB' à direita mostra que as duas formas são idênticas, confirmando o teorema de De Morgan e dupla negação.

Diagramas de Venn fornecem verificações visuais intuitivas mas não constituem provas formais; álgebra booleana é necessária para verificação rigorosa. No entanto, são inestimáveis para ilustrar conceitos como o teorema de De Morgan.

Exemplo: Represente a expressão A' + B' em um diagrama de Venn.

Solução: Sombreie A' com hachura horizontal vermelha e B' com hachura vertical azul. A figura resultante mostra todas as regiões que contêm pelo menos uma hachura, correspondendo a A' + B'. A única área não sombreada é a sobreposição central dos círculos originais.

Exemplo: Visualize (A' + B')'.

Solução: O espaço branco central representa o complemento do diagrama anterior. Esta é exatamente a região (A' + B')'.

Exemplo: Verifique que (A' + B')' = AB.

Solução: O diagrama inferior esquerdo mostra a região aberta para (A' + B')'. Os diagramas esquerdo e central representam a interseção duplamente hachurada AB. Eles coincidem perfeitamente, confirmando a identidade via teorema de De Morgan e dupla negação.

Finalmente, apresentamos um diagrama de Venn de três variáveis com A (vermelho), B (azul) e C (verde 45°). A região central onde todos três se sobrepõem representa ABC. Zonas maiores em forma de pétala ilustram interseções aos pares: AB, AC e BC. À medida que o número de variáveis em um termo AND aumenta, a região correspondente encolhe: A sozinho é um grande círculo; AB é uma pétala menor; ABC é a menor região.

• A (1 variável): região circular grande.
• AB (2 variáveis): região em forma de pétala menor.
• ABC (3 variáveis): menor região.
• Mais variáveis → região AND menor.