Entendendo Diagramas de Venn: Visualizando Relacionamentos de Conjuntos

Matemáticos usam diagramas de Venn para mostrar os relacionamentos lógicos de conjuntos (coleções de objetos) entre si. Talvez você já tenha visto diagramas de Venn em seus estudos de álgebra ou outras matemáticas. Se sim, pode se lembrar de círculos sobrepostos e da união e interseção de conjuntos.

Revisaremos os círculos sobrepostos do diagrama de Venn. Adotaremos os termos OR e AND em vez de união e interseção, pois essa é a terminologia usada em eletrônica digital.

O diagrama de Venn faz a ponte entre a álgebra booleana de um capítulo anterior para o Mapa de Karnaugh. Relacionaremos o que você já sabe sobre álgebra booleana a diagramas de Venn, então faremos a transição para mapas de Karnaugh.

Um conjunto é uma coleção de objetos fora de um universo como mostrado abaixo. Os membros do conjunto são os objetos contidos dentro do conjunto. Os membros do conjunto geralmente têm algo em comum; embora isso não seja um requisito.

Fora do universo de números reais, por exemplo, o conjunto de todos os inteiros positivos {1,2,3…} é um conjunto. O conjunto {3,4,5} é um exemplo de um conjunto menor, ou subconjunto do conjunto de todos os inteiros positivos. Outro exemplo é o conjunto de todos os homens fora do universo de estudantes universitários. Você consegue pensar em mais alguns exemplos de conjuntos?

Acima à esquerda, temos um diagrama de Venn mostrando o conjunto A no círculo dentro do universo U, a área retangular. Se tudo dentro do círculo é A, então qualquer coisa fora do círculo não é A. Assim, acima no centro, rotulamos a área retangular fora do círculo A como A-não em vez de U. Mostramos B e B-não de maneira similar.

O que acontece se ambos A e B estiverem contidos no mesmo universo? Mostramos quatro possibilidades.

Vamos examinar mais de perto cada uma das quatro possibilidades mostradas acima.

O primeiro exemplo mostra que o conjunto A e o conjunto B não têm nada em comum de acordo com o diagrama de Venn. Não há sobreposição entre as regiões hachuradas circulares de A e B. Por exemplo, suponha que os conjuntos A e B contenham os seguintes membros:

 conjunto A = {1,2,3,4} 
conjunto B = {5,6,7,8}

Nenhum dos membros do conjunto A está contido no conjunto B, nem qualquer membro de B está contido em A. Assim, não há sobreposição dos círculos.

No segundo exemplo no diagrama de Venn acima, o Conjunto A está totalmente contido dentro do conjunto B. Como podemos explicar esta situação? Suponha que os conjuntos A e B contenham os seguintes membros:

 conjunto A = {1,2} 
conjunto B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Todos os membros do conjunto A também são membros do conjunto B. Portanto, o conjunto A é um subconjunto do Conjunto B. Como todos os membros do conjunto A são membros do conjunto B, o conjunto A é desenhado totalmente dentro do limite do conjunto B.

Há um quinto caso, não mostrado, com os quatro exemplos. Dica: é semelhante ao último (quarto) exemplo. Desenhe um diagrama de Venn para este quinto caso.

O terceiro exemplo acima mostra sobreposição perfeita entre conjunto A e conjunto B. Parece que ambos os conjuntos contêm os mesmos membros idênticos. Suponha que os conjuntos A e B contenham o seguinte:

 conjunto A = {1,2,3,4} 
conjunto B = {1,2,3,4}

Portanto,

 Conjunto A = Conjunto B

Conjuntos A e B são idênticos porque ambos têm os mesmos membros idênticos. As regiões A e B dentro do diagrama de Venn correspondente se sobrepõem completamente. Se houver dúvida sobre o que os padrões acima representam, consulte qualquer figura acima ou abaixo para ter certeza de como as regiões circulares pareciam antes de serem sobrepostas.

O quarto exemplo acima mostra que há algo em comum entre conjunto A e conjunto B na região sobreposta. Por exemplo, selecionamos arbitrariamente os seguintes conjuntos para ilustrar nosso ponto:

 conjunto A = {1,2,3,4} 
conjunto B = {3,4,5,6}

Conjunto A e Conjunto B ambos têm os elementos 3 e 4 em comum. Estes elementos são a razão para a sobreposição no centro comum a A e B. Precisamos examinar esta situação mais de perto.