Ilustrando a Adição de Tensões AC Usando Números Complexos

Introdução

Neste tutorial, exploramos como três fontes de tensão de corrente alternada (AC) se combinam quando conectadas em série, usando aritmética de números complexos para determinar a tensão líquida. A abordagem demonstra que todas as leis familiares de circuitos DC — lei de Ohm, leis de tensão e corrente de Kirchhoff e técnicas de análise de redes — se aplicam à análise AC, desde que toda grandeza seja expressa na forma fasorial (complexa) e todas as fontes operem na mesma frequência.

Configuração do Circuito

Começamos organizando as três fontes conforme mostrado no diagrama abaixo. As marcas de polaridade são escolhidas para que as direções dos fasores somem diretamente, permitindo-nos escrever a tensão total como uma soma vetorial simples:

A LVK permite a adição de tensões complexas.

Embora o enunciado não especifique uma frequência explícita, a suposição implícita é que todas as três fontes compartilham a mesma frequência. Isso satisfaz o requisito de que suas relações de fase permaneçam constantes, permitindo o uso de regras no estilo DC.

Expressão Algébrica e Adição Fasorial

A expressão algébrica para a tensão total é:

V_total = V₁ + V₂ + V₃

Graficamente, a adição fasorial é ilustrada na figura abaixo.

Adição gráfica de tensões vetoriais.

O vetor resultante origina-se no início da fonte de 22 V e termina na ponta da fonte de 15 V, como mostrado na próxima figura.

Resultante é equivalente à soma vetorial das três tensões originais.

Cálculo Numérico

Para calcular a magnitude e a fase do resultante sem recorrer a um diagrama, convertemos cada fasor polar para forma retangular, somamos e depois convertemos de volta. O cálculo resulta em:

V_total = 36,8052 V ∠ –20,5018°

Em termos práticos, um voltímetro exibiria apenas a magnitude de 36,8052 V, enquanto um osciloscópio poderia ser usado para determinar o deslocamento de fase de –20,5018° em relação à fonte de referência de 15 V. O mesmo princípio se aplica a amperímetros AC, que reportam a magnitude da corrente, mas não seu ângulo de fase.

A representação retangular é conveniente para aritmética, mas não tem análogo empírico direto em medição; portanto, rotineiramente convertemos o resultado final de volta à forma polar para comparação com instrumentos do mundo real.

Validação com Simulação SPICE

Para validar o resultado analítico, executamos uma simulação SPICE simples. Um resistor de 10 kΩ é incluído apenas para evitar um erro de circuito aberto. A frequência escolhida de 60 Hz é arbitrária porque resistores exibem comportamento independente de frequência, embora outros elementos como capacitores e indutores introduzam dependência de frequência.

Esquemático do circuito SPICE.

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

A simulação confirma o resultado analítico: uma tensão total de 36,81 V ∠ –20,5°. Este resultado aparentemente contraintuitivo — obter pouco mais de 36 V de fontes de 15 V, 12 V e 22 V em série — ilustra como relações de fase podem causar interferência construtiva ou destrutiva em circuitos AC.

Efeito da Inversão de Polaridade

Em seguida, examinamos o efeito de inverter a polaridade da fonte de 12 V. Inverter as pontas muda a direção do vetor, mas não o ângulo de fase nominal; matematicamente, isso pode ser representado adicionando 180° ao ângulo (12 V ∠ 215°) ou negando a magnitude (–12 V ∠ 35°). Ambas as abordagens produzem o mesmo resultado retangular:

Na forma retangular, a nova soma é:

V_total = 30,4964 V ∠ –60,9368°

Verificamos isso com SPICE:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; inversão dos números de nó 2 e 1
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Revisão

• Todas as leis de circuitos DC se aplicam a circuitos AC — exceto cálculos de potência — desde que todas as variáveis estejam na forma complexa e compartilhem uma frequência comum.
• Inverter a polaridade de uma fonte AC pode ser expresso adicionando 180° ao seu ângulo ou negando sua magnitude.
• Valores medidos em circuitos AC correspondem às magnitudes polares dos fasores calculados; valores retangulares são úteis apenas para etapas algébricas intermediárias.

Planilhas Relacionadas

• Planilha de Análise de Redes AC
• Planilha das Leis de Kirchhoff
• Planilha da Lei de Ohm