Teorema de Millman: Análise Passo a Passo de Circuitos CA e CC com Exemplos Práticos

Teorema de Millman para Circuitos CA e CC – Exemplos Resolvidos Passo a Passo

Teorema de Millman

O Teorema de Millman é usado na análise de circuitos quando possui apenas ramos em paralelo. Portanto, é útil para calcular a tensão no final de um circuito. Só é aplicável a circuitos que contenham rede em paralelo.

O Teorema de Millman é uma combinação do Teorema de Thevenin e Teorema de Norton. Às vezes também chamado de Teorema do Gerador Paralelo. Proposto pelo professor de engenharia elétrica Jacob Millman, leva seu nome.

O Teorema de Millman afirma que;

Significa que podemos encontrar a tensão entre os ramos paralelos da rede dada. Este teorema reduz a complexidade da rede quando várias fontes estão conectadas como mostrado na figura abaixo.

Segundo o Teorema de Millman; a tensão na carga é;

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Equação Matemática

Como mostrado na figura acima, o circuito tem n fontes de tensão (E₁, E₂, E₃, …, E_n). As resistências internas das fontes são R₁, R₂, R₃, …, R_n respectivamente. Segundo Millman, qualquer circuito pode ser substituído pela rede abaixo. A figura a seguir mostra o circuito equivalente de Millman.

Agora, precisamos encontrar o valor da fonte de tensão (E) e resistência equivalente (R). O circuito acima é similar ao circuito equivalente de Thevenin. Portanto, a fonte de tensão (E) é a mesma que a tensão equivalente de Thevenin (V_TH) e a resistência equivalente é a resistência equivalente de Thevenin (R_TH).

Encontramos o circuito equivalente de Norton para facilitar cálculo. Para isso, faremos transformação de fonte. Converteremos todas as fontes de tensão em fontes de corrente.

Temos resistência interna conectada em série com fonte de tensão. Após transformação, a fonte de tensão vira fonte de corrente e a resistência interna fica em paralelo com a fonte de corrente. Portanto, o circuito acima é convertido como mostrado abaixo.

Segundo lei de Ohm, o valor das fontes de corrente será E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, E_n/R_n. Para encontrar corrente equivalente de Norton (I_N), curto-circuitamos os terminais de carga e encontramos corrente que passa por esse ramo.

No nó A₁, a corrente divide em dois caminhos: um através da resistência R₁ e outro pelo ramo em curto. Como a corrente sempre flui pelo caminho de menor resistência, toda corrente passa pelo ramo em curto. Corrente pela resistência é zero.

Isso acontece para todas as fontes nos nós A₂, A₃, …, A_n. Corrente por todos resistores é zero.

No nó A₂, a corrente vinda de A₁ é somada. Similarmente, em A₃, corrente de A₂ é somada. Portanto, em A_n, corrente de todos os nós somada. A corrente total é soma de todas as correntes, conhecida como corrente de Norton (I_N).

Encontramos corrente equivalente de Norton. Agora, precisamos encontrar resistência equivalente de Norton. Para isso, removemos todas as fontes de energia abrindo circuitos de fontes de corrente e curto-circuitando fontes de tensão.

Na figura acima, temos apenas fontes de corrente. Removemos abrindo circuitos. Também removemos a carga para calcular resistência equivalente. O circuito restante fica como abaixo.

Como mostrado, todos resistores estão em paralelo. Esta combinação paralela é igual à resistência equivalente.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

Agora, colocamos estes valores no circuito equivalente de Norton como mostrado abaixo.

Se convertermos este circuito equivalente de Norton em Thevenin, calculamos E e R a partir de I_N e R_N.

Segundo lei de Ohm;

E = I_N x R_N

Vamos tornar a equação acima em forma geral para n ramos.

Assim, temos o valor da fonte de tensão. E o valor de resistência equivalente é igual à resistência equivalente de Norton. Portanto, obtemos o circuito equivalente de Millman (fig-2).

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Passos para Aplicar Teorema de Millman

Passo-1 O Teorema de Millman só se aplica a rede ou circuito com maior número de ramos paralelos. Assumimos que precisamos resolver circuito com vários ramos paralelos contendo fonte de tensão em série com resistência interna.

Passo-2 Liste as resistências internas ou resistências em série e as fontes de tensão.

Passo-3 Encontre a resistência equivalente (R) nos terminais de carga com curto-circuito das fontes de tensão.

Passo-4 Aplique Teorema de Millman e encontre valor de tensão (E) nos terminais de carga. Use equação-1. Esta é a tensão na carga.

Passo-5 Coloque valores de R e E no circuito equivalente de Millman (fig-2).

Passo-6 Aplique KVL ao laço para encontrar corrente que passa pela carga.

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Análise de Circuito CC Usando Teorema de Millman

Exemplo #1

Encontre corrente e tensão nos terminais de carga usando Teorema de Millman.

Passo-1 Observando a figura, os quatro ramos estão em paralelo. Podemos aplicar Millman.

Passo-2 Existem três ramos exceto o de carga. Três tensões e três resistências:

E₁ = 12V e R₁ = 2Ω

E₂ = 0V e R₁ = 4Ω

E₃ = 16V e R₁ = 4Ω

Passo-3 Para resistência equivalente, removemos fontes de tensão por curto-circuito e abrimos terminais de carga. Figura restante abaixo.

R_eq = 1Ω

Como mostrado, todas resistências em paralelo. Resistência equivalente:

Passo-4 Agora, aplique Teorema de Millman.

Neste exemplo, 3 ramos. Usamos n=3.

Coloque valores listados na equação.

E = 10V

Esta é a tensão no terminal de carga.

Passo-5 Coloque valores no circuito equivalente de Millman.

Passo-6 Segundo lei de Ohm,

I_L = 1A

Portanto, tensão na carga é 10V e corrente que passa pela carga é 1A.

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Análise de Circuito CA Usando Teorema de Millman

Exemplo #2

Encontre corrente e tensão nos terminais de carga usando Teorema de Millman.

Passo-1 Como mostrado, quatro ramos em paralelo. Podemos aplicar Millman.

Passo-2 Desconsiderando ramo de carga, três ramos. Para facilitar, listamos tensões e impedâncias. Em circuito CA, usamos impedância em vez de resistência.

Valores de fontes de tensão em forma polar. Impedâncias em forma retangular. Convertemos tensões para forma polar.

V₁ = 12∠60° = 6 + j10.392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5.196 + j3

Impedâncias em forma retangular, listamos como estão.

Z₁ = 6Ω

Z₂ = j6Ω

Z₃ = –j6Ω

Passo-3 Encontre impedância equivalente. Removemos fontes de tensão por curto-circuito. Circuito restante abaixo.

Todas impedâncias em paralelo. Impedância equivalente:

Z_eq = 6Ω

Passo-4 Agora, aplique Teorema de Millman,

Três ramos, n=3.

V = 6 + 1j0.392 – j9 + j5.196 – 3

V = 3 + j6.588

Agora, encontre valor RMS.

V = 7.23V

Passo-5 Coloque valores no circuito equivalente de Millman.

Passo-6 Segundo lei de Ohm,

I_L = 0.9A

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Limitação do Teorema de Millman

O Teorema de Millman é muito útil para resolver redes. Mas há limitações:

• Não se aplica a circuito com fonte dependente entre fontes independentes.
• Para circuito com menos de duas fontes independentes, não é útil.
• Não se aplica a circuito com apenas elementos em série.
• Quando há elemento conectado entre a fonte, não é aplicável.

Aplicações do Teorema de Millman

O Teorema de Millman é amplamente usado em análise de redes para resolver circuitos complexos. Aplicações:

• Mais útil para encontrar tensão e corrente de impedância de carga com maior número de ramos paralelos com várias fontes de tensão.
• Cálculo é fácil. Não requer muitas equações.
• Usado para resolver circuitos complexos com elementos complexos como Amp-Op.

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