Unidade 2: Eixos Programáveis e Sistemas de Dimensionamento de Posição CNC – Dominando Coordenadas Cartesianas

Objetivo

Após concluir esta unidade, você deverá ser capaz de:

• Entender o sistema de coordenadas cartesianas.
• Entender as coordenadas cartesianas do plano.
• Entender as coordenadas cartesianas do espaço tridimensional.
• Entender os quatro quadrantes.
• Explicar a diferença entre coordenadas polares e retangulares.
• Identificar os eixos programáveis em uma usinagem CNC.

O Sistema de Coordenadas Cartesianas

Coordenadas cartesianas permitem especificar a localização de um ponto no plano ou no espaço tridimensional. As coordenadas cartesianas ou retangulares de um ponto são um par de números (em duas dimensões) ou uma tríade (em três dimensões) que especificam distâncias sinalizadas a partir dos eixos coordenados. Primeiro, devemos entender um sistema de coordenadas para definir nossas direções e posição relativa. Um sistema usado para definir pontos no espaço estabelecendo direções (eixos) e uma posição de referência (origem). Um sistema de coordenadas pode ser retangular ou polar.

Assim como pontos na linha correspondem à linha dos números reais, pontos no plano correspondem a pares de números reais usando duas linhas de coordenadas. Para isso, construímos duas linhas de coordenadas perpendiculares que se intersectam em suas origens; por conveniência. Atribuímos um conjunto de graduações igualmente espaçadas aos eixos x e y começando na origem e indo em ambas as direções: esquerda e direita (eixo x) e cima e baixo (eixo y). Pontos ao longo de cada eixo podem ser estabelecidos. Tornamos uma linha numérica vertical com direção positiva para cima e negativa para baixo. A outra horizontal com direção positiva para a direita e negativa para a esquerda. As duas linhas são chamadas eixos coordenados; a horizontal é o eixo x, a vertical é o eixo y, e juntas formam o sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares. O ponto de interseção é denotado por O e é a origem do sistema. Ver Figura 1.

Figura 1

Basicamente, são duas linhas de números reais juntas: uma indo esquerda-direita, outra cima-baixo. A horizontal é chamada eixo x e a vertical eixo y.

A Origem

O ponto (0,0) recebe o nome especial "A Origem", às vezes denotado pela letra "O".

Linha dos Números Reais

A base deste sistema é a linha dos números reais marcada em intervalos iguais. O eixo é rotulado (X, Y ou Z). Um ponto na linha é designado como Origem. Números de um lado são marcados positivos e do outro negativos. Ver Figura 2.

Figura 2. Linha numérica do eixo X

Coordenadas Cartesianas do Plano

Um plano no qual um sistema de coordenadas retangulares foi introduzido é um plano de coordenadas ou plano x-y. Mostraremos como estabelecer correspondência um-para-um entre pontos em um plano de coordenadas e pares de números reais. Se A é um ponto no plano, traçamos duas linhas através de A, uma perpendicular ao eixo x e outra perpendicular ao eixo y. Se a primeira intersecta o eixo x no ponto de coordenada x e a segunda intersecta o eixo y no ponto de coordenada y, associamos o par (x,y) a A (Ver Figura 2). O número x é a abscissa e y a ordenada de A; dizemos que A é o ponto de coordenadas (x,y) e denotamos por A(x,y). O ponto (0,0) é a Origem.

Abscissa e Ordenada

As palavras "Abscissa" e "Ordenada" são apenas os valores x e y:

• Abscissa: valor horizontal ("x") em um par de coordenadas: o quão longe o ponto está horizontalmente.
• Ordenada: valor vertical ("y") em um par de coordenadas: o quão longe para cima ou baixo o ponto está.

Figura 3

Valores Negativos de X e Y

Na linha dos números reais, também pode haver valores negativos. Negativo: comece no zero e vá na direção oposta; Ver Figura 4.

Figura 4

Portanto, para número negativo:

• vá para esquerda no eixo x
• vá para baixo no eixo y

Exemplo: (-3,5) significa: vá 3 para esquerda no eixo x, depois 5 para cima no eixo y. (Quadrante II: x negativo, y positivo).
E (-3,-5): vá 3 para esquerda no eixo x, depois 5 para baixo no eixo y. (Quadrante III: x negativo, y negativo).

Usando coordenadas cartesianas, marque um ponto no gráfico por quão longe horizontalmente e quão longe verticalmente; Ver Figura 5. O ponto (12,5) é 12 unidades no eixo x e 5 unidades acima no eixo y.

Figura 5

Eixos X e Y

A linha horizontal é o eixo x e a vertical é o eixo y; ambas passam pelo zero (Origem, (0,0)).

Juntas em um gráfico... Ver Figura 6.

Figura 6

Basicamente, um conjunto de duas linhas de números reais.

Eixo: Linha de referência a partir da qual distâncias são medidas.

Exemplo

Ponto (6,4): Vá 6 unidades na direção x, depois 4 unidades para cima na direção y, e "marque o ponto".

Para lembrar qual eixo é qual: as coordenadas são sempre escritas em ordem certa: primeiro a distância horizontal, depois a vertical.

Par Ordenado

Números separados por vírgula, com parênteses em volta: (7,4). Exemplo: (7,4) significa 7 unidades à direita (eixo x) e 4 unidades para cima (eixo y).

Coordenadas Cartesianas do Espaço Tridimensional

No espaço tridimensional (espaço xyz), orientado em ângulos retos ao plano xy. O eixo z passa pela origem do plano xy. Coordenadas determinadas segundo leste-oeste para eixo x, norte-sul para eixo y, e cima-baixo para deslocamentos do eixo z a partir da origem. O sistema cartesiano baseia-se em três eixos coordenados mutuamente perpendiculares: eixo x, eixo y e eixo z. Ver Figura 6 abaixo. Os três eixos intersectam-se no ponto chamado origem. Imagine a origem sendo o ponto onde as paredes no canto de uma sala encontram o chão. O eixo x é a linha horizontal onde a parede à sua esquerda e o chão se intersectam. O eixo y é a linha horizontal onde a parede à sua direita e o chão se intersectam. O eixo z é a linha vertical onde as paredes se intersectam. As partes das linhas que você vê na sala são as porções positivas de cada eixo. As partes negativas seriam as continuações das linhas fora da sala.

Figura 7. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3D

Eixos cartesianos tridimensionais. Representação dos três eixos. Os eixos positivos x, y, z são os lados rotulados por x, y, z. A origem é a interseção de todos os eixos. O ramo de cada eixo no lado oposto da origem (lado não rotulado) é a parte negativa.

Ao lidar com movimento 3D, configure um sistema de coordenadas adequado. O tipo mais direto é o sistema cartesiano. Consiste em três eixos mutuamente perpendiculares: X, Y e Z. Por convenção, a orientação é tal que quando o dedo indicador, médio e polegar da mão direita são configurados para serem mutuamente perpendiculares, eles podem ser alinhados nos eixos X, Y, Z respectivamente. Tal sistema é chamado destro (right-handed). Ver Figura 7.

Figura 8. Sistema Cartesiano Destro (Right-Handed)

As coordenadas cartesianas de um ponto em três dimensões são uma tríade (x,y,z). Os três números especificam a distância sinalizada da origem ao longo dos eixos x, y, z, respectivamente. Podem ser visualizados formando uma caixa com arestas paralelas aos eixos coordenados e cantos opostos na origem e no ponto dado.

Os pontos podem agora ser definidos em um volume tridimensional de espaço. Isso permite definir pontos em três dimensões a partir da origem. As coordenadas (x,y,z) especificam a distância sinalizada da origem ao longo dos eixos x, y, z. Coordenadas do eixo z tornam-se a terceira entrada ao definir localizações.

Dada a analogia do canto da sala, poderíamos formar as coordenadas do ponto no topo da sua cabeça assim: imagine que você tem 5 metros de altura no eixo z, anda 2 metros da origem ao longo do eixo x, vira à esquerda e anda 4 metros paralelo ao eixo y para dentro da sala. As coordenadas do topo da sua cabeça seriam (2,4,5).

Por exemplo, notação (2,4,5) corresponde a X2, Y4, Z5. Ver Figura 8.

3 Dimensões

Coordenadas cartesianas podem localizar pontos em 3 dimensões como neste exemplo:

Figura 9. O ponto (2, 4, 5) mostrado em coordenadas cartesianas tridimensionais.

Quadrantes

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro partes, chamadas quadrantes (Ver Figura 9). Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, começando do superior direito, rotulados I, II, III e IV com designações dos eixos como na ilustração.

Figura 10

Quatro Quadrantes

Incluindo valores negativos, os eixos x e y dividem o espaço em 4 partes: Quadrantes I, II, III, IV (numerados no sentido anti-horário).

• Quadrante I: x e y positivos
• Quadrante II: x negativo (y positivo)
• Quadrante III: x e y negativos
• Quadrante IV: x positivo, y negativo

Quadrante	X (Horizontal)	Y (Vertical)	Exemplo
I	Positivo	Positivo	(3,2)
II	Negativo	Positivo	(-5, 2)
III	Negativo	Negativo	(-2, -1)
IV	Positivo	Negativo	(2, -5)

Exemplo: Ponto "A" (3,2) é 3 unidades no eixo x e 2 unidades acima no eixo y. Ambos positivos → Quadrante I.

Exemplo: Ponto "C" (-2,-1) é 2 unidades no eixo x direção negativa, 1 unidade abaixo no eixo y direção negativa. Ambos negativos → Quadrante III.

Dimensões: 1, 2, 3 e mais...

1. Linha dos Números Reais: só vai esquerda-direita → precisa de 1 número.
2. Coordenadas Cartesianas: esquerda-direita, cima-baixo → precisa de 2 números.
3. 3 dimensões: esquerda-direita, cima-baixo, frente-trás.

Teste da Unidade

1. O que é CNC?
2. Descreva o sistema de coordenadas cartesianas.
3. O que é A Origem?
4. A linha horizontal é chamada de quê?
5. A linha vertical é chamada de quê?
6. Descreva a linha dos números reais.
7. Explique Abscissa e Ordenada.
8. Qual a representação dos três eixos do sistema cartesiano tridimensional?
9. Os eixos coordenados dividem o plano em quatro partes, chamadas de quê?
10. No Quadrante IV, o eixo X e o eixo Y são quê?