Teorema de Millman - Analisando Circuitos AC e DC - Exemplos

Teorema de Millman para circuitos CA e CC – exemplos resolvidos passo a passo

Teorema de Millman

O teorema de Millman é usado na análise de circuitos quando possui apenas ramificações em paralelo. Portanto, este teorema é útil para calcular a tensão no final de um circuito. O teorema de Millman só é aplicável ao circuito que contém uma rede paralela.

O teorema de Millman é uma combinação do teorema de Thevenin e teorema de Norton . Às vezes, esse teorema também é chamado de Teorema do Gerador Paralelo . Este teorema é proposto pelo professor de engenharia elétrica Jacob Millman . E depois de seu nome, este teorema é chamado de teorema de Millman.

O teorema de Millman afirma que;

Isso significa que podemos encontrar a tensão nos ramos paralelos de uma determinada rede. Este teorema reduz a complexidade da rede quando várias fontes são conectadas como mostrado na figura abaixo.

De acordo com o teorema de Millman; a tensão na carga é;

• Post relacionado: Teorema de Thevenin. Guia passo a passo com exemplo resolvido

Equação matemática

Como mostrado na figura acima, o circuito tem um número n de fontes de tensão (E₁ , E₂ , E₃ , …, E_n ). E a resistência interna das fontes é R₁ , R₂ , R₃ , …, R_n respectivamente. De acordo com o teorema de Millman, qualquer circuito pode ser substituído pela rede abaixo. A figura a seguir mostra o circuito equivalente de Millman.

Agora, precisamos encontrar o valor da fonte de tensão (E) e a resistência equivalente (R). O circuito acima é semelhante ao circuito equivalente de Thevenin. Portanto, podemos dizer que a fonte de tensão (E) é a mesma que a tensão equivalente de Thévenin (V_TH ) e a resistência equivalente é a resistência equivalente de Thevenin (R_TH ).

Encontramos o circuito equivalente do Norton para fazer um cálculo fácil. Para isso, faremos uma transformação de origem. E converta todas as fontes de tensão nas fontes de corrente.

Temos uma resistência interna conectada em série com a fonte de tensão. Após a transformação da fonte, a fonte de tensão é convertida em fonte de corrente e a resistência interna é conectada em paralelo com a fonte de corrente. Assim, o circuito acima é convertido conforme mostrado na figura abaixo.

De acordo com a lei de ohm, o valor das fontes atuais será o E₁ /R₁ , E₂ /R₂ , E₃ /R₃ , …, E_n /R_n . Agora, para encontrar a corrente equivalente do Norton (I_N ), precisamos encurtar os terminais de carga. E encontre a corrente que passa por esse ramo.

No nó A₁ , a corrente se divide em dois caminhos. Um caminho é através da resistência R₁ e o segundo caminho é do ramo em curto-circuito. Como sabemos, a corrente sempre flui pelo caminho de baixa resistência. Portanto, nesta condição, toda a corrente passa pelo ramo em curto-circuito. E a corrente que passa pela resistência é zero.

A mesma coisa acontece para todas as fontes no nó A₂ , A₃ , …, A_n . E a corrente que passa por todos os resistores é zero.

Agora, no nó A₂ , a corrente proveniente do nó A₁ Está adicionado. Da mesma forma, no nó A3, a corrente proveniente do nó A₂ Está adicionado. Portanto, no nó A_n , atual de todos os nós adicionados. A corrente total é uma soma de todas as correntes e é conhecida como corrente de Norton (I_N ).

Então, encontramos a corrente equivalente do Norton. Agora, precisamos encontrar a resistência equivalente de Norton. E para isso, precisamos remover todas as fontes de energia presentes no circuito abrindo o circuito da fonte de corrente e curto-circuitando a fonte de tensão.

Na figura acima, temos apenas uma fonte atual. Vamos remover essas fontes de corrente por circuito aberto. E precisamos remover a carga para calcular a resistência equivalente. Portanto, o circuito restante se parece com a figura abaixo.

Como mostrado na figura acima, podemos ver que todos os resistores estão conectados em paralelo. E esta combinação paralela é igual à resistência equivalente.

R_eq =R_N =R ₁ || R ₂ || R ₃ … || R_n

Agora, coloque esses valores no circuito equivalente do Norton, conforme mostrado na figura abaixo.

Se convertermos o circuito equivalente deste Norton no circuito equivalente de Thevenin, podemos calcular o valor de E e R da corrente do Norton I_N e Norton Resistance R_N .

De acordo com a lei de Ohm;

E =I_N x R_N

Vamos fazer a equação acima na forma geral para n-número de ramificações.

Então, temos o valor da fonte de tensão. E o valor da resistência equivalente é igual à resistência equivalente de Norton. Assim, podemos obter o circuito equivalente de Millman (fig-2).

• Post relacionado: Teorema de Norton. Guia passo a passo com exemplo resolvido

Passos a seguir para o Teorema de Millman

Etapa 1 O teorema de Milliman é o único aplicável à rede ou circuito com maior número de ramificações paralelas. Assim, assumimos que precisamos resolver o circuito com vários ramos paralelos contendo uma fonte de tensão conectada em série com a resistência interna.

Etapa 2 Faça uma lista da resistência interna ou resistência conectada em série e as fontes de tensão.

Etapa 3 Encontre a resistência equivalente (R) nos terminais de carga com curto-circuito nas fontes de tensão.

Etapa 4 Aplique o teorema de Millman e encontre o valor da tensão (E) nos terminais da carga. Para isso, use a equação-1. Esta tensão é a tensão através da carga.

Etapa-5 Coloque o valor de R e E no circuito equivalente de Millman (fig-2).

Etapa-6 Aplique KVL ao loop para encontrar a corrente que passa pela carga.

• Post relacionado: Teorema da superposição - Análise de circuito com exemplo resolvido

Analisando o circuito CC usando o teorema de Millman

Exemplo nº 1

Encontre a corrente e a tensão no terminal de carga usando o teorema de Millman.

Etapa 1 Observando a figura acima, podemos dizer que todos os quatro ramos estão conectados em paralelo. E podemos aplicar o teorema de Millman.

Etapa 2 Existem três ramificações, exceto a ramificação de carga. Portanto, existem três tensões e três resistências, conforme listado abaixo.

E ₁ =12V e R ₁ =2Ω

E ₂ =0V e R ₁ =4Ω

E ₃ =16V e R ₁ =4Ω

Etapa 3 Para encontrar a resistência equivalente, precisamos remover as fontes de tensão por curto-circuito e abrir os terminais de carga. Portanto, a figura restante é mostrada na figura abaixo.

R_eq =1Ω

Como mostrado na figura acima, todas as resistências estão em paralelo. Então, a resistência equivalente é;

Etapa 4 Agora, aplique o teorema de Millman.

Neste exemplo, temos 3 ramificações. Portanto, usamos n=3.

Coloque os valores listados acima nesta equação.

E =10V

Esta é a tensão no terminal de carga.

Etapa-5 Coloque esses valores no circuito equivalente de Millman.

Etapa-6 Pela lei de ohm,

I_L =1A

Portanto, a tensão na carga é de 10 V e a corrente que passa pela carga é de 1 A.

• Post relacionado: Teorema de Tellegen - Exemplos resolvidos e simulação MATLAB

Analisando o circuito CA usando o teorema de Millman

Exemplo nº 2

Encontre a corrente e a tensão nos terminais de carga usando o teorema de Millman.

Etapa 1 Conforme mostrado na figura acima, quatro ramos são conectados em paralelo. Portanto, podemos aplicar o teorema de Millman.

Etapa 2 Se não considerarmos o ramo de carga, existem três ramos. Para facilitar o cálculo, listaremos as tensões e impedâncias. No caso de um circuito CA, precisamos usar a palavra impedância em vez de resistência.

Os valores das fontes de tensão são dados na forma polar. Mas, os valores das impedâncias são dados na forma retangular. Então, precisamos converter os valores da fonte de tensão na forma polar.

V ₁ =12∠60° =6 + j 10.392

V ₂ =9∠0° =9 + j 0

V ₃ =6∠30° =5,196 + j 3

As impedâncias são fornecidas em formas retangulares. Então, listamos como está.

Z ₁ =6Ω

Z ₂ =j 6Ω

Z ₃ =–j 6Ω

Etapa 3 Encontre a impedância equivalente. Como mostrado no exemplo acima, precisamos remover todas as fontes de tensão por curto-circuito. E o circuito restante é como mostrado na figura abaixo.

Aqui, todas as impedâncias são conectadas em paralelo. Então, a impedância equivalente será;

Z _eq =6Ω

Etapa 4 Agora, aplique o teorema de Milliman,

Aqui, temos três ramificações. Portanto, n é igual a 3.

V =6 + 1j 0,392 – j 9 + j 5.196 - 3

V =3 + j 6.588

Agora, precisamos encontrar o valor RMS.

V =7,23V

Etapa-5 Coloque esses valores no circuito equivalente de Millman.

Etapa-6 Pela lei de ohm,

I_L =0,9A

• Post relacionado: Teorema de Transferência de Potência Máxima para Circuitos CA e CC
  

Limitação do teorema de Millman

O teorema de Millman é muito útil para resolver a rede. Mas há alguma limitação que está listada abaixo.

• Este teorema não se aplica ao circuito com uma fonte dependente entre a fonte independente.
• Para o circuito com menos de duas fontes independentes, este teorema não é útil.
• Este teorema não se aplica ao circuito com apenas elementos em série.
• Quando há um elemento conectado entre a fonte, este teorema não pode ser aplicado.

Aplicações do Teorema de Millman

O teorema de Millman é amplamente utilizado na análise de redes para resolver circuitos complexos. A aplicação do teorema de Millman está listada abaixo.

• O teorema de Millman é mais útil para encontrar a tensão e a corrente da impedância de carga no caso de um número maior de ramificações paralelas estarem disponíveis com várias fontes de tensão.
• O cálculo deste teorema é fácil. Não requer o uso de mais equações.
• Este teorema é usado para resolver o circuito complexo com elementos complexos como Op-Amp.

• Análise de circuito SUPERNODE - passo a passo com exemplo resolvido
• Análise de circuito SUPERMESH - passo a passo com exemplo resolvido
• Lei de Corrente e Tensão de Kirchhoff (KCL e KVL) | Exemplo resolvido
• Calculadora de Regras de Cramer - Sistema de 2 e 3 Equações para Circuitos Elétricos
• Ponte de Wheatstone – Circuito, Funcionamento, Derivação e Aplicações
• Calculadoras de engenharia elétrica e eletrônica
• Mais de 5.000 fórmulas e equações de engenharia elétrica e eletrônica