Teorema da Compensação em Análise de Circuitos: Demonstração, Explicação e Exemplos Práticos

Demonstração, Explicação, Experimento e Exemplos Resolvidos do Teorema da Compensação para Análise de Circuitos

Teorema da Compensação

Na teoria de redes, às vezes é importante conhecer o efeito da mudança de impedância em um ramo. Isso afeta tensões e correntes correspondentes na rede. O teorema da compensação fornece informações sobre essa mudança.

O teorema baseia-se na Lei de Ohm. Segundo ela, quando corrente passa por resistor, ocorre queda de tensão nos seus terminais. Essa queda opõe-se à tensão da fonte.

Portanto, conecta-se uma fonte de tensão extra com polaridade oposta à da fonte principal e magnitude igual à queda de tensão. O teorema da compensação baseia-se neste conceito.

O teorema da compensação afirma que:

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Explicação do Teorema da Compensação

Para entender, considere a figura abaixo.

Na figura, a fonte V é independente e as impedâncias Z₁ e Z₂ são lineares/bilaterais. Aplicamos o teorema. A corrente no laço é I.

Suponha que Z₂ aumente em ΔZ. A corrente muda para I'. Novo circuito:

A variação de corrente é ΔI = I – I'.

Segundo o teorema, podemos calcular ΔI diretamente modificando o circuito:

1. Conecte uma fonte de tensão de valor I·ΔZ no ramo onde a impedância mudou. Polaridade oposta à fonte principal. Esta nova fonte V_C é a fonte de compensação.
   V_C = I·ΔZ
2. Remova a fonte original pela sua impedância interna. Se fonte ideal, curto-circuite seus terminais.

O circuito resultante:

Resolvendo este circuito, encontra-se ΔI.

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Demonstração do Teorema da Compensação

Considere o circuito da figura 1. Calcule a corrente I no laço.

Aplicando LKT (Lei de Kirchhoff das Tensões) à figura 1:

Assumindo Z₂ alterado em ΔZ, circuito modificado (figura 2). Calcule I':

Aplicando LKT à figura 2:

ΔI = I – I'.

Agora considere a figura abaixo (circuito após aplicar teorema):

Fonte original removida por curto-circuito (fonte ideal). Encontre a corrente I" neste laço e compare com ΔI calculado acima.

Aplicando LKT:

V_C = Z₁·I" + (Z₂ + ΔZ)·I"

V_C = I"·(Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I" = V_C / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I" = ΔI

Portanto, a variação de corrente (ΔI) após modificação é igual à calculada pelo teorema da compensação. Teorema demonstrado.

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Experimento do Teorema da Compensação

Objetivo: Provar o teorema e encontrar a variação de corrente.

Material: Voltímetro, Amperímetro, Resistores, Fios, Protoboard.

Diagrama do Circuito:

Procedimento:

1. Monte o circuito da figura 5 na protoboard.
2. Meça a corrente I.
3. Monte o circuito da figura 6 (resistor extra adicionado).
4. Meça a corrente I₁.
5. Calcule ΔI = I – I₁.
6. Monte o circuito da figura 7 (circuito de compensação).
7. Meça a corrente I".
8. Compare ΔI com I".

Tabela do Experimento:

Nº	I	I1	ΔI	I''
1

Resultado: Comparando I" com ΔI, prova-se o teorema.

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Exemplo do Teorema da Compensação

Exemplo 1

1. Encontre a corrente no ramo AB quando a resistência é 3 Ω.
2. Encontre a corrente no ramo AB usando o teorema quando 3 Ω muda para 9 Ω.
3. Prove o teorema.

Resposta 1

Resistores 6 Ω e 3 Ω em paralelo, combinação em série com 3 Ω.

R_Eq = 6 || 3 + 3

R_Eq = 2 + 3 = 5 Ω

Pela Lei de Ohm: 10 = I·5 → I = 2 A

Corrente no ramo AB (divisor de corrente):

I' = 1,333 A (4/3 A)

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Resposta 2

Substituir 3 Ω por 9 Ω. Pelo teorema, adicionar fonte de tensão em série com 9 Ω. Valor:

V_C = I'·ΔZ

ΔZ = 9 – 3 = 6 Ω; I' = 4/3 A

V_C = (4/3) × 6 = 8 V

Resistência equivalente: 3 Ω || 6 Ω em série com 9 Ω.

R_Eq = 3 || 6 + 9 = 2 + 9 = 11 Ω

Pela Lei de Ohm: 8 = ΔI·11 → ΔI = 8/11 = 0,7272 A

Pelo teorema, variação de corrente = 0,7272 A.

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Resposta 3

Provar o teorema: calcule a corrente no circuito com 9 Ω.

9 Ω || 6 Ω em série com 3 Ω.

R_Eq = 9 || 6 + 3 = 3,6 + 3 = 6,66 Ω

10 = I·6,66 → I = 1,5151 A

Divisor de corrente:

I" = 0,6060 A

ΔI = I' – I" = 1,333 – 0,6060 = 0,7273 A

Comprovado: ΔI pelo teorema = ΔI pelo circuito original.

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Exemplo 2

No circuito abaixo, encontre a variação de corrente se 3 Ω for substituído por 7 Ω usando o teorema. E prove o teorema.

Rede com resistores e fonte de corrente independente. Aplicável o teorema.

Corrente no ramo 3 Ω (divisor de corrente):

I = 70/10 = 7 A

No original, corrente no ramo 3 Ω = 3 A. Mudança para 7 Ω. Encontrar ΔI pelo teorema.

Rede de compensação: remova fontes independentes (curto em tensão, aberto em corrente). Fonte de corrente ideal → abra o circuito.

Adicione fonte de tensão extra: V_C = I·ΔZ

V_C = 7 × (7 – 3) = 7 × 4 = 28 V

Único laço. Corrente no ramo 7 Ω = ΔI.

ΔI = V_C / (7 + 7) = 28/14 = 2 A

Para provar: calcule corrente no circuito com 7 Ω.

I" = (10 × 7) / (7 + 7) = 70/14 = 5 A

Divisor de corrente: ΔI = I – I" = 7 – 5 = 2 A

Teorema da compensação provado.

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