Teorema de Tellegen: Guia Completo com Exemplos Resolvidos e Simulações no MATLAB

Teorema de Tellegen – Guia Passo a Passo com Exemplos Resolvidos

O que é o Teorema de Tellegen?

O Teorema de Tellegen foi publicado em 1952 pelo engenheiro elétrico e inventor holandês Bernard D.H. Tellegen. Este teorema é o mais importante e fundamental entre os teoremas de análise de redes. A maioria dos outros teoremas deriva deste.

O Teorema de Tellegen baseia-se nas Leis de Kirchhoff. Portanto, aplica-se a redes que obedecem a essas leis. Pode ser utilizado em uma ampla gama de redes com elementos lineares ou não lineares, variantes ou invariantes no tempo, passivos ou ativos.

O Teorema de Tellegen afirma que:

O teorema baseia-se no princípio da lei da conservação de energia. É utilizado em aplicações químicas e biológicas para determinar o comportamento dinâmico de redes físicas. No processamento de sinais, é usado para projetar filtros.

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Equação Matemática

Para uma análise geral, consideramos n elementos na rede. A corrente instantânea através de cada elemento é i₁, i₂, i₃, …, i_n. A tensão instantânea de cada ramo é v₁, v₂, v₃, …, v_n.

A potência instantânea (p₁) consumida pelo elemento 1 é v₁i₁.

p₁ = v₁ i₁

Potência instantânea do elemento 2 (p₂):

p₂ = v₂ i₂

Similarmente, a potência instantânea do n-ésimo elemento (p_n):

p_n = v_n i_n

Segundo o Teorema de Tellegen, a soma de todas as potências instantâneas é zero:

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 0

v₁ i₁ + v₂ i₂ + v₃ i₃ + … + v_n i_n = 0

Na forma geral, para o k-ésimo ramo:

Onde:

• n = número total de ramos na rede
• v_k = tensão instantânea do k-ésimo ramo
• i_k = corrente instantânea do k-ésimo ramo
• p_k = potência instantânea do k-ésimo ramo

Considere a figura abaixo onde o ramo AB equivale ao ramo k.

Tensão instantânea v_k:

v_k = v_a – v_b

Corrente instantânea no ramo (a para b) é i_k:

i_k = i_ab

Potência instantânea p_k:

p_k = v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab ….. (1)

Considerando a direção oposta da corrente (b para a):

i_ba = – i_ab

Tensão instantânea:

v_k = v_b – v_a

Potência instantânea p_k:

p_k = v_k i_k = (v_b – v_a) i_ba ….. (2)

Somando as equações (1) e (2):

2v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba

v_k i_k = ½ [(v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba] ….. (3)

Esta equação para n ramos:

Segundo a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK), a soma algébrica das correntes em um nó é zero:

Substituindo na equação (4):

Assim, prova-se que a soma da potência entregue à rede é zero. O Teorema de Tellegen é comprovado. Também demonstra que a soma da potência absorvida pelos elementos é igual à soma da potência entregue pelas fontes.

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Passos para Aplicar o Teorema de Tellegen

Siga estes passos para resolver qualquer rede elétrica pelo Teorema de Tellegen:

Passo 1: Determine o número de ramos na rede. Encontre a potência dissipada em cada ramo. Para isso, calcule a tensão ou corrente de cada ramo usando métodos convencionais de análise.

Passo 2: Calcule a potência instantânea de cada ramo.

Passo 3: Ramos com fontes de energia são ramos de entrega de potência. Ramos com outros elementos são ramos de absorção de potência. Identifique cada um.

Passo 4: Atribua sinal positivo aos ramos de entrega de potência e sinal negativo (queda de tensão) aos ramos de absorção. A convenção pode ser invertida, mas deve ser consistente.

Passo 5: Some todas as potências calculadas. A soma deve ser zero, validando o teorema.

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Exemplo Resolvido do Teorema de Tellegen

Exemplo #1

Justifique o Teorema de Tellegen para a rede abaixo.

Solução:

Passo 1: O circuito tem 5 ramos. Para calcular a potência instantânea, precisamos da corrente em cada ramo. Aplicaremos a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK).

Aplicando LTK à malha 1:

15 = 12₁ – 3₂

Aplicando LTK à malha 2:

12 = – 3₂ + 6₂

Resolvendo o sistema:

₁ = 2 A

₂ = 3 A

Passo 2: Corrente no ramo 3:

₁₂ = ₂ – ₁ = 3 – 2 = 1 A

Agora calculamos a potência de cada ramo:

P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30 W

P₂ = R₁ I₁² = 9 × 4 = 36 W

P₃ = R₁ I₁₂² = 3 × 1 = 3 W

P₄ = R₃ I₂² = 3 × 9 = 27 W

P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36 W

Passo 3: Dois ramos têm fontes (entrega de potência). Os outros três são de absorção.

Passo 4: Sinais: P₁ e P₅ positivos; P₂, P₃, P₄ negativos.

Passo 5: Soma das potências:

P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30 – 36 – 3 – 27 + 36 = 0 W

A soma é zero. O teorema é validado.

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Exemplo #2

Encontre a tensão na fonte de corrente de 6 A usando o Teorema de Tellegen.

Solução:

Passo 1: Calcule tensões/correntes usando LCK ou LTK.

LTK na malha 2:

–12 = 8₂ – 6₁

Corrente no ramo com fonte de corrente: ₁ = 6 A

Substituindo:

–12 = 8₂ – 36

24 = 8₂

₂ = 3 A

Passo 2: Corrente no ramo 2: ₁₂ = ₁ – ₂ = 6 – 3 = 3 A

Potências:

P₁ = V I₁ = V × 6 = 6V

P₂ = R₁ I₁₂² = 6 × 9 = 54 W

P₃ = R₂ I₂² = 2 × 9 = 18 W

P₄ = V I₂ = –12 × 3 = –36 W

Passo 3: Dois ramos com fontes (entrega, sinal +). Dois com resistores (absorção, sinal –).

Passo 4: P₁ e P₄ positivos; P₂ e P₃ negativos.

Passo 5: Soma:

P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0

P₁ – 54 – 18 – 36 = 0 → P₁ = 108 W

Potência entregue pela fonte de 6 A é 108 W. Tensão:

P₁ = V I → 108 = V × 6 → V = 18 V

A tensão na fonte de corrente é 18 V.

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Análise e Simulação do Teorema de Tellegen no MATLAB

Objetivo: Provar o Teorema de Tellegen para o circuito do exemplo anterior.

Requisitos: MATLAB

Teoria: Segundo o teorema, a soma das potências instantâneas de todos os ramos é zero. Para provar, calculamos a potência de cada ramo. Usamos o MATLAB Simulink para obter tensões e correntes.

Modelo Simulink do MATLAB

A figura abaixo mostra o diagrama do circuito no Simulink.

No modelo, obtemos tensão e corrente diretamente nos displays. Comparando com os valores calculados via LCK/LTK, os resultados coincidem.

Cálculo

Após obter tensões/correntes, calculamos as potências instantâneas e somamos. A soma é sempre zero. Valores medidos experimentalmente em protoboard com voltímetro e amperímetro também confirmam.

Portanto, o Teorema de Tellegen é comprovado.

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Aplicações do Teorema de Tellegen

Este teorema fundamental tem amplas aplicações:

• Projeto de filtros em processamento digital de sinais.
• Determinação da estabilidade de plantas químicas na engenharia química.
• Aplicável a sistemas concentrados com elementos lineares/não lineares, ativos/passivos, variantes/invariantes no tempo.
• Processos biológicos.
• Topologia e análise de reação de estrutura.
• Determinação do comportamento dinâmico de redes físicas.

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