Teorema de Tellegen – Exemplos resolvidos e simulação MATLAB
Teorema de Tellegen – Guia passo a passo com exemplos resolvidos
O que é o Teorema de Tellegen?
Teorema de Tellegen foi publicado por um engenheiro elétrico e inventor holandês Bernard D.H. Tellegen em 1952. Este teorema é o teorema mais importante e fundamental entre outros teoremas na análise de redes. A maioria dos outros teoremas são derivados deste teorema.
O teorema de Tellegen depende da lei de Kirchhoff. Portanto, este teorema pode ser aplicado à rede que obedece à lei de Kirchhoff. Este teorema pode ser aplicado a uma ampla faixa da rede com elementos lineares ou não lineares, variantes ou não variantes no tempo, passivos ou ativos.
O teorema de Tellegen afirma que;
O teorema de Tellegen funciona com base no princípio da lei da conservação da energia. Este teorema é usado em aplicações químicas e biológicas para encontrar o comportamento dinâmico da rede física. No processamento de sinais, este teorema é usado para projetar filtros.
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Equação matemática
Para uma análise geral do teorema, consideramos que o número ‘n’ de elementos é dado na rede. A corrente instantânea que passa pelo elemento é i1 , i2 , i3 , …., in . E a tensão instantânea deste ramo é v1 , v2 , v3 , …., vn .
Portanto, a corrente instantânea e a tensão do elemento-1 são i1 e v1 . A potência instantânea (p1 ) consumido por este elemento é v1 e1 .
p 1 =v 1 eu 1
O poder instantâneo do elemento-2 é (p 2 );
p 2 =v 2 eu 2
Da mesma forma, o poder instantâneo de n
th
elemento é (p n );
pn =vn en
De acordo com o teorema de Tellegen, a soma de todas as potências instantâneas é zero. Isso significa que precisamos somar todas as potências instantâneas p1 , p2 , p3 , …., pn .
p 1 + p 2 + p 3 + … + pn = 0
v 1 eu 1 + v 2 eu 2 + v 3 eu 3 + … + vn en = 0
De forma geral, podemos escrever a equação acima para o k
th
ramo;
Onde,
- n =número total de filiais na rede
- vk =tensão instantânea de k th filial
- ik =corrente instantânea de k th filial
- pk =potência instantânea de k th filial
Agora, considere a figura abaixo, pois o ramo AB é igual ao ramo k.
Portanto, tensão instantânea vk ;
vk =va – vb
E a corrente instantânea que passa pelo ramo (a a b) é ik ;
ik =iab
Então, a potência instantânea pk é;
pk =vk euk =(vum – vb ) iab ….. (1)
Agora, consideramos o sentido oposto da corrente instantânea (b para a);
iab =– iab
Tensão instantânea;
vk =vb – va
A potência instantânea pk é;
pk =vk euk =(vb – va ) euba ….. (2)
Soma da equação-1 e 2;
2vk euk =(va – v b )eu ab + (vb – va ) iba
vk euk =1/2 [(va – v b )eu ab + (vb – va ) eba ] ….. (3)
Esta equação pode ser escrita como abaixo para n-ramificações;
De acordo com a lei das correntes de Kirchhoff, a soma algébrica da corrente é zero em um nó do circuito.
Portanto,
Se colocarmos esse valor na equação-4, obtemos;
Assim, fica provado que a soma da potência entregue à rede é zero. Portanto, está provado o teorema de Tellegen. Também é descrito que a soma das potências absorvidas pelos elementos da rede é igual à soma das potências entregues pelas fontes.
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Passos a seguir para o Teorema de Tellegen
Precisamos seguir os passos abaixo para resolver qualquer rede elétrica pelo teorema de Tellegen.
Etapa 1: Precisamos encontrar um número de ramificações na rede elétrica fornecida. Em seguida, encontre a potência dissipada em cada ramo. Para encontrar a potência, precisamos encontrar a tensão ou corrente desse ramo usando qualquer método de análise convencional.
Etapa 2: Encontre a potência instantânea de cada ramo.
Etapa 3: O ramal que possui uma fonte de energia que é considerado um ramal de fornecimento de energia. E o ramo possui outros elementos é considerado como um ramo absorvedor de energia. Agora identifique a ramificação de fornecimento de energia e a ramificação de absorção de energia.
Etapa 4: Suponha sinal positivo no ramo de fornecimento de energia e queda de tensão negativa no ramo de absorção de energia. Você pode assumir sinais inversos também. Mas não pode mudar ao longo do exemplo.
Etapa-5: Para justificar o teorema de Tellegen, precisamos somar todas as potências calculadas de todos os ramos. E esta soma é sempre zero.
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Vamos entender com um exemplo.
Exemplo resolvido do teorema de Tellegen
Exemplo nº 1
Justifique o teorema de Tellegen para a rede abaixo.
Solução:
Etapa 1: A rede de circuitos dada tem 5 ramos. Para calcular a potência instantânea, precisamos encontrar a corrente que passa por cada ramo. Para isso, aplicaremos o KVL à rede.
Aplica KVL ao loop-1;
15 =12Eu 1 – 3Eu 2
Aplica KVL ao loop-2;
12 =– 3Eu 2 + 6Eu 2
Resolvendo as equações acima, podemos encontrar os valores da corrente de loop I1 e eu2 . E esses valores são;
Eu 1 =2A
Eu 2 =3A
Etapa 2: A corrente que passa pelo ramo-3 é;
Eu 1 2 =Eu 2 – Eu 1 =3 – 2 =1A
Temos corrente fluindo por todas as ramificações. Agora, encontre o poder de cada ramo.
P 1 =V I 1 =15 x 2 =30 W
P 2 =R 1 Eu 1
2
=9 x 4 =36 W
P 3 =R 1 Eu 12
2
=3 x 1 =3W
P 4 =R 3 Eu 2
2
=3 x 9 =27 W
P 5 =V I 2 =12 x 3 =36 W
Etapa 3: Existem dois ramos com fontes. Esses ramos são ramos de fornecimento de energia e os outros três ramos são ramos de absorção de energia.
Aqui, para este exemplo, assumimos que o sinal do ramo de fornecimento de energia é positivo e o sinal do ramo de absorção de energia é negativo. Portanto, as ramificações 1 e 5 são ramificações de fornecimento de energia e outras ramificações são ramificações de absorção de energia.
Etapa 4: O sinal de poder P1 e P5 é positivo (ramificações de fornecimento de energia) e o sinal de P2 , P3 , e P4 é negativo (ramos absorvedores de energia).
Etapa-5: Agora, precisamos encontrar a soma da potência dissipada por todos os ramos.
P 1 – P 2 – P 3 – P 4 + P 5 =30W – 36W – 3W – 27W + 36W =0W
Então, a soma da potência instantânea é zero. E, portanto, este teorema está provado.
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Exemplo nº 2
Encontre a tensão na fonte de corrente de 6A usando o teorema de Tellegen.
Solução:
Etapa 1: Precisamos calcular a tensão ou a corrente que passa pelo elemento. Para isso, aplicamos KCL ou KVL à rede fornecida.
Aplica KVL ao loop-2;
-12 =8I 2 – 6Eu 1
As passagens atuais pela ramificação com a fonte atual são I 1;
Eu 1 =6A
Coloque este valor na equação acima;
-12 =8I 2 – 6(6)
-12 =8I 2 - 36
36 – 12 =8I 2
24 =8Eu 2
Eu 2 =3A
Etapa 2: A corrente passa pelo branch-2 é;
Eu 12 =Eu 1 – Eu 2 =6 – 3 =3A
Agora, encontre o poder de cada ramo;
P 1 =V I 1 =V x 6 =6 x V
P 2 =R 1 Eu 12
2
=6 x 9 =54 W
P 4 =R 2 Eu 2
2
=2 x 9 =18 W
P 4 =V I 2 =-12 x 3 =-36W
Etapa 3: Aqui, dois ramos com fontes de energia. Portanto, temos que considerar esses ramos como ramos de fornecimento de energia. E defina o sinal positivo para a potência instantânea.
Os outros dois ramos possuem apenas resistores. Portanto, esses ramos são ramos absorventes de energia e definem o sinal negativo para a potência instantânea.
Etapa 4: Potência P1 e P4 tem sinal positivo e potência P2 e P3 têm sinal negativo.
Etapa-5: Agora, precisamos somar toda a potência instantânea.
P 1 – P 2 – P 3 + P 4 =0W
P 1 – 54 – 18 + 36 =108 W
A potência fornecida pela fonte de corrente de 6A é de 108W. Portanto, a tensão na fonte de corrente é calculada por;
P 1 =V I
108W =V x 6A
V =18V
Portanto, a tensão na fonte de corrente é 18V.
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Analisando e Simulando o Teorema de Tellegen usando MATLAB
Objectivo:
Prove o Teorema de Tellegen para o diagrama de circuito dado no exemplo acima.
Requisito: MATLAB
Teoria:
De acordo com o teorema de Tellegen, a potência instantânea da soma de todos os ramos é igual a zero. Para provar este teorema, precisamos calcular a potência instantânea de todos os ramos.
Para encontrar a potência instantânea, precisamos calcular a tensão ou corrente de todos os ramos. Para isso, podemos usar os teoremas KCL ou KVL. Mas aqui vamos usar o modelo MATLAB Simulink para encontrar a corrente e a tensão.
Podemos usar outros softwares também como multisim, psim, etc. Construiremos um diagrama de circuito no modelo Simulink. Pelo modelo Simulink, você pode encontrar a tensão e a corrente de cada ramal.
Depois disso, você pode encontrar a potência instantânea da tensão e da corrente. Você pode encontrar diretamente a energia instantânea de algum software.
Modelo MATLAB Simulink
A figura abaixo mostra o diagrama de circuito do exemplo acima.
Nesta figura, podemos encontrar diretamente a tensão e a corrente do display. Você pode comparar esses valores calculando a tensão e a corrente com a ajuda de KCL ou KVL.
Cálculo
Após calcular a tensão ou corrente, você pode encontrar a potência instantânea. Ou você pode encontrar diretamente a energia instantânea do software. Tudo o que precisamos é de energia instantânea. E depois disso, precisamos adicionar todos os poderes.
A soma das potências é sempre zero. Para este exemplo, comparamos o valor de tensão e corrente encontrado no Simulink e os mesmos valores calculados no exemplo anterior usando KVL e KCL. Esses valores são os mesmos.
Esses valores também são calculados pelos resistores e fontes de conexão na placa de ensaio. E podemos medir a tensão e a corrente que passa por todos os ramos com a ajuda de um voltímetro e amperímetro.
Assim, fica provado o teorema de Tellegen.
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Aplicação do Teorema de Tellegen
Este teorema é muito fundamental e amplamente utilizado na análise de circuitos. Existem muitas aplicações deste teorema. Alguns aplicativos estão listados abaixo.
- Para projetar os filtros, este teorema é muito útil nas aplicações de processamento digital de sinais.
- Para determinar a estabilidade de plantas químicas, este teorema é usado em engenharia química.
- Este teorema se aplica ao sistema concentrado com elementos linear-não-linear, ativo-passivo, variante no tempo/invariante no tempo.
- Este teorema é usado no processo biológico.
- É usado em topologia e análise de reação de estrutura.
- Também é usado para encontrar o comportamento dinâmico da rede física.
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