Teorema da Compensação - Demonstração, Explicação e Exemplos Resolvidos

Prova, Explicação, Experimento e Exemplos Resolvidos do Teorema de Compensação para Análise de Circuitos

Teorema da Compensação

Em tempos de teoria de redes, é importante conhecer ou estudar o efeito da mudança de impedância em uma de suas ramificações. Isso afetará a tensão e as correntes correspondentes da rede ou circuito. O teorema da compensação fornece informações sobre a mudança na rede.

O teorema da compensação funciona no conceito básico da lei de Ohm. De acordo com a lei de Ohm, quando uma corrente passa pelo resistor, uma certa queda de tensão ocorre através do resistor. Esta queda de tensão irá se opor à tensão da fonte.

Portanto, conectamos uma fonte de tensão extra em polaridade oposta em relação à tensão da fonte e a magnitude é igual à queda de tensão. O teorema da compensação funciona neste conceito.

O teorema da compensação afirma que,

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Explicação do Teorema da Compensação

Para entender o teorema da compensação, considere a figura abaixo.

Nesta figura, a fonte de tensão V é uma fonte e tensão independentes e duas impedâncias Z₁ e Z₂ são elementos lineares ou bilaterais. Portanto, podemos aplicar o teorema da compensação a esta rede. A corrente que passa pela espira é I.

Agora, suponha que a impedância Z₂ aumentado em ∆Z. Devido a essa mudança, a corrente que passa pelo loop é alterada e é I’. O novo diagrama de circuito é mostrado na figura abaixo.

Devido à mudança na impedância, a mudança na corrente dada por ∆I.

Δeu =Eu – Eu

De acordo com o enunciado do teorema da compensação, podemos calcular diretamente a mudança no ∆I atual. Para isso, precisamos modificar o circuito.

A primeira modificação é que, conecte uma fonte de tensão de valor I∆Z no ramo em que a impedância é alterada. E a polaridade desta fonte de tensão é oposta à da fonte principal. A fonte de tensão recém-adicionada V_C é conhecido como a fonte de compensação.

V_C =Eu ΔZ

A segunda modificação é que precisamos remover a fonte de tensão antiga por sua impedância interna. Se considerarmos uma fonte de tensão ideal, nesta condição, podemos remover esta fonte de tensão por curto-circuito em seu terminal. Após essas modificações, o circuito restante fica conforme a figura abaixo.

Resolvendo o circuito acima, podemos encontrar facilmente a mudança na corrente após a mudança na impedância.

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Prova do Teorema da Compensação

Considere o circuito dado na figura-1. Calcule a corrente (I) que passa pela espira.

Aplicar KVL na figura-1;



Agora, assumimos que a impedância Z₂ é alterado por ∆Z. E o circuito modificado é como mostrado na figura-2. Precisamos calcular (I') a corrente que passa pelo loop na figura-2.

Aplicar KVL na figura-2;

Devido à mudança na impedância, a mudança na corrente do loop é denotada como ∆I. E o ∆I é igual à diferença entre a antiga corrente I e a nova corrente I’.

Δeu =Eu – Eu

Agora, considere a figura abaixo.

Esta figura representa o circuito após a implementação do teorema de compensação. Aqui, a fonte de tensão original é removida por curto-circuito (assuma a fonte de tensão ideal).

Encontraremos a corrente que passa por esse loop que é I”. E compare esta corrente com a corrente calculada acima.

Para calcular a corrente que passa pelo loop, aplique KVL na figura acima.

V_C =Z ₁ Eu" +(Z ₂ +ΔZ ) Eu"

V_C =Eu" (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

Eu” =V_C / (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

Eu” =ΔEu

Assim, fica provado que a variação da corrente (∆I) após a modificação é a mesma que a corrente calculada pelo teorema da compensação.

E provamos o enunciado do teorema da compensação.

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Experiência do Teorema da Compensação

Objectivo: Prove o teorema da compensação e encontre a variação da corrente.

Aparelho: Voltímetro, amperímetro, resistores, fios de conexão, placa de ensaio,

Diagrama de circuito:

Procedimento:

Passo-1 Conecte os componentes conforme mostrado na figura-5 usando o fio de conexão em uma placa de ensaio.

Passo 2 Meça o I atual.

Passo-3 Conecte os componentes conforme mostrado na figura-6. Aqui, nós conectamos um resistor extra.

Passo-4 Meça o I1 atual.

Passo-5 Calcule a mudança na corrente (∆I) a partir do valor de I e I1.

Passo-6 Conecte os componentes conforme mostrado na figura-7. Este circuito é um circuito de compensação.

Passo-7 Meça o I atual”.

Passo-8 Compare a mudança na corrente (∆I) com o I”.

Tabela de experimentos:

Resultado:

Comparando o valor da corrente I’’ com ∆I, podemos provar o teorema da compensação.

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Exemplo de Teorema da Compensação

Exemplo-1

• 1) Encontre a corrente que passa pelo ramo AB quando a resistência é 3Ω.
• 2) Encontre a corrente que passa pelo ramo AB usando o teorema de compensação quando a resistência de 3Ω é alterada para 9Ω.
• 3) Prove o teorema da compensação.

Resposta-1

Como mostrado na figura, os resistores de 6Ω e 3Ω estão em paralelo. E esta combinação paralela é conectada em série com resistor de 3Ω. Portanto, a resistência equivalente será;

R _Eq =6 | | 3+3

R _Eq =2 + 3

R _Eq =5Ω

De acordo com a lei de Ohm;

10 =Eu (5)

Eu =10 ÷ 5

Eu =2A

Agora, precisamos encontrar a corrente que passa pelo ramo AB. Então, de acordo com a regra do divisor de corrente;

Eu' =1,333 A (ou 3/4 A)

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Resposta-2

Precisamos substituir o resistor de 3Ω por um de 9Ω. De acordo com o teorema de compensação, precisamos adicionar uma nova fonte de tensão em série com o resistor de 9Ω. E o valor desta fonte de tensão é;

V_C =Eu ΔZ

Onde,

ΔZ =9 – 3 =6 Ω e I' =4/3 A (ou 1,333 A)

V_C =(4/3A) x 6Ω

V_C =8V

Um diagrama de circuito modificado ou diagrama de circuito compensado é mostrado na figura abaixo.

Agora, encontraremos a resistência equivalente. Aqui, resistores de 3Ω e 6Ω são conectados em paralelo. E esta combinação paralela é conectada em série com um resistor de 9Ω.

R_Eq =3 | | 6 + 9

R_Eq =2 + 9

R_Eq =11Ω

Agora, de acordo com a lei de Ohm;

V =ΔI R

8 =ΔI (11Ω)

Δeu =8 ÷ 11

Δeu =0,7272A

Então, de acordo com o teorema da compensação; a mudança na corrente é 0,7272A.

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Resposta-3

Queremos provar o teorema da compensação. Então, calculamos a corrente no exemplo dado com um resistor de 9Ω.

O diagrama de circuito modificado é mostrado na figura abaixo.

Aqui, resistores de 9Ω e 6Ω são conectados em paralelo e essa combinação paralela é conectada em série com o resistor de 3Ω.

A resistência equivalente é igual a;

R_Eq =9 | | 6 + 3

R_Eq =99 ÷ 15

R_Eq =6,66Ω

Da figura acima;

10 =Eu (6,66)

Eu =10 ÷ 6,66

Eu =1,5151A

De acordo com a regra do divisor atual;

Eu” =0,6060A

Δeu =Eu – Eu"

Δeu =(4/3A) - 0,6060

Δeu =1,333A - 0,6060

Δeu =0,7273A

Assim, fica provado que a variação de corrente calculada pelo teorema de compensação é a mesma que a variação de corrente calculada a partir do circuito original.

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Exemplo-2

No circuito abaixo, encontre a variação da corrente se o resistor de 3Ω for substituído por um resistor de 7Ω usando o teorema de compensação. E prove o teorema da compensação.

A rede acima consiste apenas em resistores e fontes de corrente independentes. Assim, podemos aplicar o teorema da compensação a esta rede.

Nesta figura, a rede é fornecida por uma fonte atual. Agora, precisamos encontrar a corrente que passa pelo ramo do resistor de 3Ω. Esta corrente pode ser encontrada usando KCL ou KVL. Mas aqui, essa corrente pode ser facilmente encontrada pela regra do divisor de corrente.

Portanto, de acordo com a regra do divisor atual;

Eu =70 ÷ 10 A

Eu =7A

Na rede original com resistor de 3Ω, a corrente que passa por esse ramo é 3A. Agora, precisamos mudar este resistor de 3Ω para 7Ω. Devido a esta modificação, a corrente que passa por aquele ramo será alterada. E encontraremos essa mudança de corrente pelo teorema da compensação.

Para isso, precisamos fazer uma rede de compensação. Para fazer uma rede de compensação, precisamos remover todas as fontes independentes disponíveis na rede curto-circuitando a fonte de tensão e abrindo o circuito da fonte de corrente.

Nesta rede, apenas uma fonte atual está disponível. Assumimos que a fonte de corrente é uma fonte de corrente ideal. Portanto, não precisamos adicionar a resistência interna.

A segunda modificação que precisamos fazer no circuito de compensação é adicionar uma fonte de tensão extra. E o valor desta tensão é;

V_C =Eu ΔZ

V_C =7 × (7 – 3)

V_C =7 × 4

V_C =28 V

A rede de compensação é mostrada na figura abaixo.

Esta figura tem apenas um loop. E a corrente que passa pelo ramo de 7Ω nos dará a variação de corrente (∆I).

Δeu =V_C ÷ (7+7)

Δeu =28 ÷ 14

Δeu =2A

Para provar o teorema de compensação, encontraremos a corrente no circuito com um resistor de 7Ω conectado. O diagrama de circuito modificado é mostrado na figura abaixo.

Eu” =(10 (7)) ÷ (7 + 7)

Eu” =70 ÷ 14

Eu” =5A

Aplicando a regra do divisor atual;

Para encontrar a variação da corrente, precisamos subtrair essa corrente da corrente que passa pela rede original.

Δeu =Eu – Eu"

Δeu =7 - 5

Δeu =2A

Assim, provamos o teorema da compensação.

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