Entendendo Células Don't-Care em Mapas de Karnaugh

Até agora, abordamos problemas de redução lógica onde toda combinação de entrada é totalmente especificada. Uma tabela-verdade de 3 variáveis, por exemplo, contém 2^3 = 8 entradas e o mapa de Karnaugh correspondente é totalmente populado.

Em muitas aplicações do mundo real, porém, não precisamos definir toda entrada possível. Algumas combinações nunca ocorrerão, e a saída para aqueles estados "impossíveis" é irrelevante. Estas são chamadas condições don't-care (não-me-importo).

Por exemplo, ao trabalhar com números Decimal Codificado em Binário (BCD) codificados em quatro bits, os códigos válidos são 0000 a 1001 (decimal 0–9). Os seis padrões binários 1010 a 1111 correspondem aos dígitos hexadecimais A a F e nunca são usados. Consequentemente, podemos marcar esses seis padrões como don't-cares e deixá-los em branco em uma tabela-verdade ou mapa de Karnaugh.

Células Don't-Care

Em um mapa de Karnaugh, células don't-care são representadas por um asterisco (*) e podem ser tratadas como 0 ou 1 ao agrupar, ou simplesmente ignoradas. Usá-las pode permitir agrupamentos maiores, que frequentemente levam a uma expressão booleana mais simples.

Inclua um don't-care em um grupo apenas se reduzir a complexidade geral da lógica. Não há obrigação de usar toda célula don't-care.

Considere uma função que deve sair 1 para a entrada ABC = 101 enquanto todas as outras entradas entre 000 e 101 são irrelevantes. As duas combinações 110 e 111 são marcadas como don't-cares. Podemos derivar três expressões simplificadas diferentes:

• Sem usar don't-cares: Out = AB'C.
• Incluindo um don't-care para formar um par: Out = AC.
• Usando um don't-care para formar um grupo de quatro células de zeros: também Out = AC.

Estes exemplos ilustram que células don't-care podem ser tratadas como 1s ou 0s, dependendo de qual escolha produz a expressão mais simples.

Agora nos voltamos para uma aplicação prática: projetar lógica de lâmpadas para um exposição de bicicleta ergométrica em um museu de ciências local.

À medida que o ciclista pedala mais rápido, um pequeno gerador DC produz tensão proporcional à velocidade. Esta tensão é alimentada em uma placa tacômetro que limita o sinal para que o conversor Analógico-para-Digital (A/D) downstream nunca produza os dois maiores códigos de 3 bits (110 e 111). O conversor, portanto, produz um dos seguintes códigos: 000 (sem movimento), 001, 010, 011, 100 ou 101.

Cinco lâmpadas (L1 a L5) formam um display de barras. O padrão de iluminação é o seguinte:

• 000 – nenhuma lâmpada acende.
• 001 – L1 acende.
• 010 – L1 e L2 acendem.
• 011 – L1, L2 e L3 acendem.
• 100 – L1, L2, L3 e L4 acendem.
• 101 – todas as cinco lâmpadas acendem.

Como os códigos 110 e 111 nunca podem ocorrer, tratamo-los como don't-cares. Os seguintes mapas de Karnaugh são construídos para cada lâmpada, com 0s para o estado 000, 1s para os estados acesos apropriados, e *s para 110 e 111.

Por exemplo, a lâmpada L5 só acende para ABC = 101. Seu mapa contém um único 1 naquela célula e zeros em outros lugares. A lâmpada L4 acende para ABC = 100 e 101, então seu mapa tem 1s naquelas duas células. A lâmpada L3 acende para 011, 100 e 101; a lâmpada L2 acende para 010, 011, 100 e 101; a lâmpada L1 acende para todo código exceto 000.

Agrupando os 1s e explorando don't-cares onde benéfico, a expressão booleana de cada lâmpada simplifica dramaticamente. Em particular, a expressão da lâmpada L4 reduz a simplesmente A (o bit mais significativo), eliminando a necessidade de qualquer porta lógica. As outras lâmpadas também se beneficiam de complexidade reduzida.

O diagrama de portas resultante (mostrado acima) conecta as cinco expressões minimizadas a inversores open-collector (série 74-7406) que acionam os LEDs. A saída L1 usa uma porta OR de 2 entradas combinando (A + B) com C, resultando na soma lógica A + B + C.

Saídas open-collector são ideais para drivers de LED porque permitem corrente fluir através de uma carga externa. Um alto ativo em qualquer inversor puxa sua saída para baixo, drenando corrente através do LED e seu resistor limitador. Embora os LEDs neste exposição possam ser parte de um relé de estado sólido acionando lâmpadas de 120 VAC, essa circuitaria está além do escopo deste projeto lógico.

Planilhas Relacionadas

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