Dominando Equações Simultâneas: Guia Passo a Passo dos Métodos de Substituição e Adição

O que são Equações Simultâneas e Sistemas de Equações?

Os termos equações simultâneas e sistemas de equações referem-se a condições onde duas ou mais variáveis desconhecidas estão relacionadas entre si através de um número igual de equações.

Exemplo:

Para este conjunto de equações, existe apenas uma única combinação de valores para x e y que satisfaz ambas.

Cada equação, considerada separadamente, tem uma infinidade de soluções válidas (x,y), mas juntas existe apenas uma. Plotadas em um gráfico, esta condição torna-se óbvia:

Cada linha é na verdade um contínuo de pontos representando pares de soluções (x,y) possíveis para cada equação.

Cada equação, separadamente, tem um número infinito de pares ordenados (x,y) como soluções. Existe apenas um ponto onde as duas funções lineares x + y = 24 e 2x - y = -6 se intersectam (onde uma de suas muitas soluções independentes acontece de funcionar para ambas as equações), e esse ponto é onde x é igual a 6 e y é igual a 18.

Geralmente, porém, o gráfico não é uma maneira muito eficiente de determinar o conjunto de soluções simultâneas para duas ou mais equações. É especialmente impraticável para sistemas de três ou mais variáveis.

Em um sistema de três variáveis, por exemplo, a solução seria encontrada pela interseção de três planos em um espaço de coordenadas tridimensional — não é um cenário fácil de visualizar.

Resolvendo Equações Simultâneas Usando o Método da Substituição

Existem várias técnicas algébricas para resolver equações simultâneas.

Talvez a mais fácil de compreender seja o método da substituição.

Tomemos, por exemplo, nosso problema de duas variáveis:

No método da substituição, manipulamos uma das equações de forma que uma variável seja definida em termos da outra:

Então, pegamos esta nova definição de uma variável e a substituímos pela mesma variável na outra equação.

Neste caso, pegamos a definição de y, que é 24 - x, e substituímos pelo termo y encontrado na outra equação:

Agora que temos uma equação com apenas uma variável (x), podemos resolvê-la usando técnicas algébricas "normais":

Agora que x é conhecido, podemos conectar este valor em qualquer uma das equações originais e obter um valor para y.

Ou, para economizar trabalho, podemos conectar este valor (6) na equação que acabamos de gerar para definir y em termos de x, já que ela já está na forma de resolver para y:

Aplicar o método da substituição a sistemas de três ou mais variáveis envolve um padrão semelhante, apenas com mais trabalho envolvido.

Isso é geralmente verdadeiro para qualquer método de solução: o número de passos necessários para obter soluções aumenta rapidamente com cada variável adicional no sistema.

Para resolver três variáveis desconhecidas, precisamos de pelo menos três equações. Considere este exemplo:

Como a primeira equação tem os coeficientes mais simples (1, -1 e 1, para x, y e z, respectivamente), parece lógico usá-la para desenvolver uma definição de uma variável em termos das outras duas.

Resolva para x em termos de y e z:

Agora, podemos substituir esta definição de x onde x aparece nas outras duas equações:

Reduzindo estas duas equações às suas formas mais simples:

Até agora, nossos esforços reduziram o sistema de três variáveis em três equações para duas variáveis em duas equações.

Agora, podemos aplicar a técnica de substituição novamente às duas equações 4y - z = 4 e -3y + 4z = 36 para resolver y ou z. Primeiro, manipularei a primeira equação para definir z em termos de y:

Em seguida, substituiremos esta definição de z em termos de y onde vemos z na outra equação:

Agora que y é um valor conhecido, podemos conectá-lo na equação que define z em termos de y e obter um valor para z:

Agora, com valores para y e z conhecidos, podemos conectá-los na equação onde definimos x em termos de y e z, para obter um valor para x:

Em conclusão, encontramos valores para x, y e z de 2, 4 e 12, respectivamente, que satisfazem todas as três equações.

Resolvendo Equações Simultâneas Usando o Método da Adição

Embora o método da substituição possa ser o mais fácil de compreender conceitualmente, existem outros métodos de solução disponíveis para nós.

Um desses métodos é o chamado método da adição, onde equações são somadas umas às outras com o propósito de cancelar termos variáveis.

Vamos tomar nosso sistema de duas variáveis usado para demonstrar o método da substituição:

Uma das regras mais usadas da álgebra é que você pode realizar qualquer operação aritmética que desejar em uma equação, desde que a faça igualmente em ambos os lados.

Com referência à adição, isso significa que podemos adicionar qualquer quantidade que desejarmos a ambos os lados de uma equação — desde que seja a mesma quantidade — sem alterar a verdade da equação.

Uma opção que temos, então, é adicionar os lados correspondentes das equações juntas para formar uma nova equação.

Como cada equação é uma expressão de igualdade (a mesma quantidade em ambos os lados do sinal =), adicionar o lado esquerdo de uma equação ao lado esquerdo da outra equação é válido, desde que também somemos os lados direitos das duas equações.

No nosso conjunto de equações de exemplo, por exemplo, podemos adicionar x + y a 2x - y, e adicionar 24 e -6 juntos também para formar uma nova equação.

Que benefício isso nos traz? Examine o que acontece quando fazemos isso com nosso conjunto de equações de exemplo:

Como a equação de cima continha um termo y positivo enquanto a equação de baixo continha um termo y negativo, esses dois termos se cancelaram no processo de adição, não deixando termo y na soma.

O que nos resta é uma nova equação, mas com apenas uma única variável desconhecida, x! Isso nos permite resolver facilmente o valor de x:

Uma vez que temos um valor conhecido para x, é claro, determinar o valor de y é uma simples questão de substituição (substituindo x pelo número 6) em uma das equações originais.

Neste exemplo, a técnica de somar as equações funcionou bem para produzir uma equação com uma única variável desconhecida.

E quanto a um exemplo onde as coisas não são tão simples? Considere o seguinte conjunto de equações:

Poderíamos somar estas duas equações — isso sendo uma operação algébrica completamente válida — mas não nos ajudaria no objetivo de obter valores para x e y:

A equação resultante ainda contém duas variáveis desconhecidas, assim como as equações originais, e portanto não avançamos na obtenção de uma solução.

No entanto, e se pudéssemos manipular uma das equações de modo a ter um termo negativo que cancela-se o termo respectivo na outra equação quando somadas?

Então, o sistema se reduziria a uma única equação com uma única variável desconhecida, assim como no último exemplo (feliz).

Se pudéssemos apenas transformar o termo y na equação inferior em um termo - 2y, de modo que quando as duas equações fossem somadas, ambos os termos y nas equações se cancelassem, deixando-nos com apenas um termo x, isso nos aproximaria de uma solução.

Felizmente, isso não é difícil de fazer. Se multiplicarmos cada termo da equação inferior por -2, produziremos o resultado que buscamos:

Agora, podemos adicionar esta nova equação à equação original superior:

Resolvendo para x, obtemos um valor de 3:

Substituindo este novo valor encontrado para x em uma das equações originais, o valor de y é facilmente determinado:

Usar esta técnica de solução em um sistema de três variáveis é um pouco mais complexo.

Assim como na substituição, você deve usar esta técnica para reduzir o sistema de três equações de três variáveis para duas equações com duas variáveis, e depois aplicá-la novamente para obter uma única equação com uma variável desconhecida.

Para demonstrar, usarei o sistema de equações de três variáveis da seção de substituição:

Como a equação superior tem valores de coeficiente 1 para cada variável, será uma equação fácil de manipular e usar como ferramenta de cancelamento.

Por exemplo, se desejarmos cancelar o termo 3x da equação do meio, tudo o que precisamos fazer é pegar a equação superior, multiplicar cada um de seus termos por -3, e então adicioná-la à equação do meio assim:

Podemos livrar a equação inferior de seu termo -5x da mesma maneira: pegue a equação superior original, multiplique cada um de seus termos por 5, então adicione essa equação modificada à equação inferior, deixando uma nova equação com apenas termos y e z:

Neste ponto, temos duas equações com as mesmas duas variáveis desconhecidas, y e z:

Por inspeção, deve ser evidente que o termo -z da equação superior poderia ser aproveitado para cancelar o termo 4z na equação inferior, se apenas multiplicarmos cada termo da equação superior por 4 e somarmos as duas equações juntas:

Tomando a nova equação 13y = 52 e resolvendo para y (dividindo ambos os lados por 13), obtemos um valor de 4 para y.

Substituindo este valor de 4 para y em qualquer uma das equações de duas variáveis, podemos resolver para z.

Substituindo ambos os valores de y e z em qualquer uma das equações originais de três variáveis, podemos resolver para x.

O resultado final (pouparei os passos algébricos, pois você já deve estar familiarizado com eles!) é que x = 2, y = 4 e z = 12.

PLANILHAS RELACIONADAS:

• Planilha de Equações Simultâneas para Análise de Circuitos