Dominando valores próprios e vetores próprios no MATLAB:um guia prático

Autovalores e autovetores são conceitos fundamentais em álgebra linear, amplamente utilizados em vários campos, incluindo física, engenharia e análise de dados. No MATLAB, esses conceitos podem ser explorados e computados facilmente.

O que são valores próprios?

Um autovalor é um escalar, denotado como (lambda), associado a uma transformação linear de um espaço vetorial. Representa o fator pelo qual o autovetor correspondente é dimensionado durante a transformação.

O que é EigenVectors?

Um autovetor é um vetor diferente de zero que só muda por um fator escalar quando uma transformação linear é aplicada a ele. Em outras palavras, se A é uma matriz, v é um autovetor de A correspondente ao autovalor se -

Av=v

Aqui, A é uma matriz quadrada, v é o autovetor e é o autovalor.

Funções MATLAB

MATLAB fornece funções integradas para calcular autovalores e autovetores.

Usando eig

Esta função calcula os autovalores e autovetores de uma matriz.

Sintaxe

07 
Explicação da sintaxe
 
 e =eig(A) retorna um vetor coluna com os autovalores da matriz quadrada A. 
 
 [V,D] =eig(A) retorna uma matriz diagonal D com os autovalores de A e uma matriz V cujas colunas são os autovetores correspondentes. Isso significa que multiplicar A por V é o mesmo que multiplicar V por D. 
 
 [V,D,W] =eig(A) também retorna uma matriz completa W cujas colunas são os autovetores esquerdos correspondentes. Isso significa que multiplicar a transposta de W por A é o mesmo que multiplicar D pela transposta de W. 
 
 O problema de autovalor trata de encontrar soluções para a equação Av =v, onde A é uma matriz quadrada, v é um vetor coluna e é um escalar. Os valores que satisfazem esta equação são os autovalores, e os valores v que a satisfazem são os autovetores corretos. Os autovetores esquerdos, w, satisfazem a equação w'A =w'. 
 
 e =eig(A,B) retorna um vetor coluna com os autovalores generalizados das matrizes quadradas A e B. 
 
 [V,D] =eig(A,B) retorna uma matriz diagonal D com os autovalores generalizados e uma matriz completa V cujas colunas são os autovetores direitos correspondentes. Isso significa que multiplicar A por V é o mesmo que multiplicar B, V e D juntos. 
 
 [V,D,W] =eig(A,B) também retorna uma matriz completa W cujas colunas são os autovetores esquerdos correspondentes. Isso significa que multiplicar a transposta de W por A é o mesmo que multiplicar D, a transposta de W e B. 
 
 O problema de autovalor generalizado trata de encontrar soluções para a equação Av =Bv, onde A e B são matrizes quadradas, v é um vetor coluna e é um escalar. Os valores que satisfazem esta equação são os autovalores generalizados, e os valores v são os autovetores corretos correspondentes. Os autovetores esquerdos, w, satisfazem a equação w'A =w'B. 
 
 [___] =eig(A, balanceOption), onde balanceOption é "nobalance", desativa a etapa de balanceamento preliminar no algoritmo. Por padrão, balanceOption é "balance", que ativa o balanceamento. A função eig pode retornar qualquer um dos argumentos de saída mencionados nos exemplos anteriores. 
 
 [___] =eig(A,B,algorithm), onde o algoritmo é "chol", usa a fatoração de Cholesky de B para calcular os autovalores generalizados. O algoritmo padrão depende das propriedades de A e B, mas é "qz" (algoritmo QZ) quando A ou B não são simétricos. 
 
 [___] =eig(___,outputForm) retorna os autovalores no formato especificado por outputForm, usando qualquer um dos argumentos de entrada ou saída mencionados anteriormente. Defina outputForm como "vetor" para obter os autovalores em um vetor de coluna ou "matriz" para obtê-los em uma matriz diagonal. 
 
Exemplos para função Matlab eig()
 
 Aqui estão alguns exemplos para ilustrar como usá-lo - 
 
Exemplo 1:Para calcular autovalores usando e =eig(A)
 
 No MATLAB, você pode encontrar os autovalores da matriz A usando a função eig. Considere o seguinte código - 
 
16 
 No exemplo acima - 
 
 
A matriz A é definida como uma matriz 3x3 com entradas conforme mostrado.
 
A função eig(A) calcula os autovalores da matriz A.
 
O resultado de eig(A) é armazenado na variável e, que é um vetor coluna contendo os autovalores de A.
 
 
 Quando o código é calculado, a saída que obtemos é a seguinte - 
 
24 
Exemplo 2:Para obter valores próprios e vetores próprios usando [V,D] =eig(A)
 
 No MATLAB, você pode encontrar os autovalores e autovetores da matriz A usando a função eig. 
 
 Considere o seguinte código - 
 
38 
 No código acima, temos - 
 
 
A matriz A é definida como uma matriz 2x2 com entradas conforme mostrado.
 
A função [V, D] =eig(A) calcula os autovalores (D) e os autovetores correspondentes (V) da matriz A.
 
D é uma matriz diagonal contendo os autovalores de A.
 
V é uma matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
 
 
 Quando o código é executado, a saída que obtemos é a seguinte - 
 
46 

            

            

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