Ondas estacionárias e ressonância

Sempre que houver uma incompatibilidade de impedância entre a linha de transmissão e a carga, ocorrerão reflexos. Se o sinal incidente for uma forma de onda AC contínua, essas reflexões se misturarão com mais da forma de onda incidente que se aproxima para produzir formas de onda estacionárias chamadas ondas estacionárias .

A ilustração a seguir mostra como uma forma de onda incidente em forma de triângulo se transforma em um reflexo de imagem espelhada ao atingir a extremidade não terminada da linha. A linha de transmissão nesta sequência ilustrativa é mostrada como uma linha única e grossa, em vez de um par de fios, para simplificar.

A onda incidente é mostrada viajando da esquerda para a direita, enquanto a onda refletida viaja da direita para a esquerda:(Figura abaixo)

Onda de incidente reflete fora da extremidade da linha de transmissão não terminada.

Se adicionarmos as duas formas de onda juntas, descobrimos que uma terceira forma de onda estacionária é criada ao longo do comprimento da linha:(Figura abaixo)

A soma das ondas incidentes e refletidas é uma onda estacionária.

Esta terceira onda “estacionária”, na verdade, representa a única tensão ao longo da linha, sendo a soma representativa das ondas de tensão incidente e refletida. Ele oscila em magnitude instantânea, mas não se propaga ao longo do comprimento do cabo como o incidente ou formas de onda refletidas causando isso.

Observe os pontos ao longo do comprimento da linha marcando os pontos "zero" da onda estacionária (onde as ondas incidente e refletida se cancelam) e como esses pontos nunca mudam de posição:(Figura abaixo)

A onda estacionária não se propaga ao longo da linha de transmissão.

Casos em que uma onda permanente é produzida

As ondas estacionárias são abundantes no mundo físico. Considere um barbante ou corda, agitada em uma extremidade e amarrada na outra (apenas um meio ciclo de movimento da mão mostrado, movendo-se para baixo):(Figura abaixo)

Ondas estacionárias em uma corda.

Tanto os nós (pontos de pouca ou nenhuma vibração) quanto os antínodos (pontos de vibração máxima) permanecem fixos ao longo do comprimento da corda ou corda.

O efeito é mais pronunciado quando a extremidade livre é sacudida na frequência certa. Cordas dedilhadas apresentam o mesmo comportamento de “onda estacionária”, com “nós” de vibração máxima e mínima ao longo de seu comprimento.

A principal diferença entre uma corda dedilhada e uma corda sacudida é que a corda dedilhada fornece sua própria frequência "correta" de vibração para maximizar o efeito da onda estacionária:(Figura abaixo)

Ondas estacionárias em uma corda puxada.

O vento que sopra através de um tubo aberto também produz ondas estacionárias; desta vez, as ondas são vibrações de moléculas de ar (som) dentro do tubo, em vez de vibrações de um objeto sólido. Se a onda estacionária termina em um nó (amplitude mínima) ou um antinodo (amplitude máxima) depende se a outra extremidade do tubo está aberta ou fechada:(Figura abaixo)

Ondas de som estacionárias em tubos abertos.

Uma extremidade de tubo fechada deve ser um nó de onda, enquanto uma extremidade de tubo aberta deve ser um antinodo. Por analogia, a extremidade ancorada de uma corda vibrante deve ser um nó, enquanto a extremidade livre (se houver) deve ser um antinodo.

Progressão de harmônicos de frequências ressonantes

Observe como há mais de um comprimento de onda adequado para a produção de ondas estacionárias de ar vibrando dentro de um tubo que correspondem precisamente aos pontos finais do tubo.

Isso é verdade para todos os sistemas de ondas estacionárias:as ondas estacionárias ressoarão com o sistema para qualquer frequência (comprimento de onda) correlacionada aos pontos de nó / antinodo do sistema. Outra maneira de dizer isso é que existem múltiplas frequências ressonantes para qualquer sistema que suporte ondas estacionárias.

Todas as frequências mais altas são múltiplos inteiros da frequência mais baixa (fundamental) do sistema. A progressão sequencial de harmônicos de uma frequência ressonante para a próxima define o sobretom frequências para o sistema:(Figura abaixo)

Harmônicos (sobretons) em tubos abertos

As frequências reais (medidas em Hertz) para qualquer um desses harmônicos ou sobretons dependem do comprimento físico do tubo e da velocidade de propagação das ondas, que é a velocidade do som no ar.

Simulando uma ressonância de linha de transmissão usando SPICE

Como as linhas de transmissão suportam ondas estacionárias e forçam essas ondas a possuir nós e antinodos de acordo com o tipo de impedância de terminação no final da carga, elas também exibem ressonância em frequências determinadas pelo comprimento físico e velocidade de propagação.

A ressonância da linha de transmissão, porém, é um pouco mais complexa do que a ressonância de cordas ou de ar em tubos, porque devemos considerar tanto as ondas de tensão quanto as ondas de corrente.

Esta complexidade é mais fácil de entender por meio de simulação em computador. Para começar, vamos examinar uma fonte, linha de transmissão e carga perfeitamente correspondentes. Todos os componentes têm uma impedância de 75 Ω:(Figura abaixo)

Linha de transmissão perfeitamente combinada.

Usando SPICE para simular o circuito, vamos especificar a linha de transmissão ( t1 ) com uma impedância característica de 75 Ω ( z0 =75 ) e um atraso de propagação de 1 microssegundo ( td =1u ) Este é um método conveniente para expressar o comprimento físico de uma linha de transmissão:a quantidade de tempo que uma onda leva para se propagar por todo o seu comprimento.

Se fosse um cabo de 75 Ω real - talvez um cabo coaxial do tipo “RG-59B / U”, o tipo comumente usado para distribuição de televisão a cabo - com um fator de velocidade de 0,66, teria cerca de 648 pés de comprimento.

Uma vez que 1 µs é o período de um sinal de 1 MHz, vou escolher varrer a frequência da fonte CA de (quase) zero para essa figura, para ver como o sistema reage quando exposto a sinais que variam de DC a 1 comprimento de onda.

Aqui está a netlist SPICE para o circuito mostrado acima:

 Linha de transmissão v1 1 0 ac 1 sin fonte 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0 =75 td =1u rload 3 0 75 .ac lin 101 1m 1meg * Usando o programa “Noz-moscada” para plotar a análise .fim 

Executando esta simulação e plotando a queda de impedância da fonte (como uma indicação de corrente), a tensão da fonte, a tensão da fonte-extremidade da linha e a tensão de carga, vemos que a tensão da fonte - mostrada como vm (1) (magnitude da tensão entre nó 1 e o ponto de aterramento implícito do nó 0) no gráfico - registra 1 volt constante, enquanto todas as outras tensões registram 0,5 volts constante:(Figura abaixo)

Sem ressonâncias em uma linha de transmissão correspondente.

Em um sistema onde todas as impedâncias são perfeitamente combinadas, não pode haver ondas estacionárias e, portanto, não há “picos” ou “vales” ressonantes no gráfico de Bode.

Agora, vamos mudar a impedância de carga para 999 MΩ, para simular uma linha de transmissão aberta. (Figura abaixo) Devemos definitivamente ver alguns reflexos na linha agora, conforme a frequência é varrida de 1 mHz para 1 MHz:(Figura abaixo)

Linha de transmissão aberta.

 Linha de transmissão v1 1 0 ac 1 sin fonte 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0 =75 td =1u rload 3 0 999 meg .ac lin 101 1m 1meg * Usando o programa “Noz-moscada” para plotar a análise .fim 

Ressonâncias em linha de transmissão aberta.

Aqui, tanto a tensão de alimentação vm (1) e a tensão de fim de carga da linha vm (3) permanecer estável em 1 volt. As outras tensões caem e atingem o pico em diferentes frequências ao longo da faixa de varredura de 1 MHz a 1 MHz.

Existem cinco pontos de interesse ao longo do eixo horizontal da análise:0 Hz, 250 kHz, 500 kHz, 750 kHz e 1 MHz. Investigaremos cada um com relação à tensão e corrente em diferentes pontos do circuito.

A 0 Hz (na verdade 1 mHz), o sinal é praticamente CC e o circuito se comporta da mesma forma que se fosse uma fonte de bateria CC de 1 volt.

Não há corrente de circuito, conforme indicado pela queda de tensão zero na impedância da fonte (Z _fonte : vm (1,2) ), e a tensão da fonte total presente na extremidade da fonte da linha de transmissão (tensão medida entre o nó 2 e o nó 0: vm (2) ) (Figura abaixo)

Em f =0:input:V =1, I =0; fim:V =1, I =0.

A 250 kHz, vemos tensão zero e corrente máxima na extremidade da fonte da linha de transmissão, mas ainda tensão total na extremidade da carga:(Figura abaixo)

Em f =250 KHz:entrada:V =0, I =13,33 mA; fim:V =1 I =0.

Você pode estar se perguntando, como pode ser isso? Como podemos obter a tensão de fonte total na extremidade aberta da linha enquanto houver tensão zero em sua entrada?

A resposta é encontrada no paradoxo da onda estacionária. Com uma frequência de fonte de 250 kHz, o comprimento da linha é precisamente correto para 1/4 do comprimento de onda caber de ponta a ponta. Com a extremidade da carga da linha em circuito aberto, não pode haver corrente, mas haverá tensão.

Portanto, a extremidade da carga de uma linha de transmissão em circuito aberto é um nó de corrente (ponto zero) e um antinodo de tensão (amplitude máxima):(Figura abaixo)

A extremidade aberta da linha de transmissão mostra o nó atual, o antinó da tensão na extremidade aberta.

A 500 kHz, exatamente metade de uma onda estacionária repousa na linha de transmissão, e aqui vemos outro ponto na análise onde a corrente da fonte cai para nada e a tensão da extremidade da fonte da linha de transmissão sobe novamente para a tensão total :(Figura abaixo)

Onda estacionária completa em linha de transmissão aberta de meia onda.

Em 750 kHz, o gráfico se parece muito com 250 kHz:tensão fonte-extremidade zero (vm (2)) e corrente máxima (vm (1,2)). Isso se deve a 3/4 de uma onda posicionada ao longo da linha de transmissão, resultando na fonte “vendo” um curto-circuito onde se conecta à linha de transmissão, embora a outra extremidade da linha esteja em circuito aberto:(Figura abaixo)

ondas estacionárias de 1 1/2 em linha de transmissão aberta de 3/4 ondas.

Quando a frequência de alimentação atinge 1 MHz, existe uma onda estacionária completa na linha de transmissão. Neste ponto, a extremidade da fonte da linha experimenta as mesmas amplitudes de tensão e corrente que a extremidade da carga:tensão total e corrente zero. Em essência, a fonte “vê” um circuito aberto no ponto em que se conecta à linha de transmissão. (Figura abaixo)

Ondas estacionárias duplas na linha de transmissão aberta de onda completa.

De forma semelhante, uma linha de transmissão em curto-circuito gera ondas estacionárias, embora as atribuições de nó e antinodo para voltagem e corrente sejam invertidas:na extremidade em curto da linha, haverá voltagem zero (nó) e corrente máxima (antinodo) . O que se segue é a simulação SPICE e ilustrações do que acontece em todas as frequências interessantes:0 Hz, 250 kHz, 500 kHz, 750 kHz e 1 MHz. O jumper de curto-circuito é simulado por uma impedância de carga de 1 µΩ:

Linha de transmissão em curto.

 Linha de transmissão v1 1 0 ac 1 sin fonte 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0 =75 td =1u rload 3 0 1u .ac lin 101 1m 1meg * Usando o programa “Noz-moscada” para plotar a análise .fim 

Ressonâncias na linha de transmissão em curto

Em f =0 Hz:entrada:V =0, I =13,33 mA; final:V =0, I =13,33 mA.

Padrão de meia onda estacionária em linha de transmissão em curto de 1/4 de onda.

Padrão de onda estacionária de onda completa em linha de transmissão em curto de meia onda.

Padrão de onda estacionária de 1 1/2 em linha de transmissão em curto de 3/4 de onda.

Ondas estacionárias duplas na linha de transmissão em curto-circuito de onda completa.

Em ambos os exemplos de circuito, uma linha de circuito aberto e uma linha em curto-circuito, a reflexão de energia é total:100% da onda incidente que atinge o final da linha é refletida de volta para a fonte.

Se, no entanto, a linha de transmissão for terminada em alguma impedância que não seja aberta ou em curto, as reflexões serão menos intensas, assim como a diferença entre os valores mínimo e máximo de tensão e corrente ao longo da linha.

Suponha que terminemos nossa linha de exemplo com um resistor de 100 Ω em vez de um resistor de 75 Ω. (Figura abaixo) Examine os resultados da análise SPICE correspondente para ver os efeitos da incompatibilidade de impedância em diferentes frequências de fonte:(Figura abaixo)

Linha de transmissão terminada em incompatibilidade

 Linha de transmissão v1 1 0 ac 1 sin fonte 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0 =75 td =1u rload 3 0 100 .ac lin 101 1m 1meg * Usando o programa “Noz-moscada” para plotar a análise .fim 

Ressonâncias fracas em uma linha de transmissão incompatível

Se executarmos outra análise SPICE, desta vez imprimindo resultados numéricos em vez de plotá-los, podemos descobrir exatamente o que está acontecendo em todas as frequências interessantes:

 Linha de transmissão v1 1 0 ac 1 sin fonte 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0 =75 td =1u rload 3 0 100 .ac lin 5 1m 1meg .print ac v (1,2) v (1) v (2) v (3) .fim 

 freq v (1,2) v (1) v (2) v (3) 1,000E-03 4,286E-01 1,000E + 00 5,714E-01 5,714E-01 2.500E + 05 5.714E-01 1.000E + 00 4.286E-01 5.714E-01 5.000E + 05 4.286E-01 1.000E + 00 5.714E-01 5.714E-01 7.500E + 05 5.714E-01 1.000E + 00 4.286E-01 5.714E-01 1,000E + 06 4,286E-01 1,000E + 00 5,714E-01 5,714E-01 

Em todas as frequências, a tensão da fonte, v (1) , permanece estável em 1 volt, como deveria. A tensão de carga, v (3) , também permanece estável, mas em uma tensão menor:0,5714 volts. No entanto, tanto a tensão de entrada da linha ( v (2) ) e a tensão caiu através da impedância de 75 Ω da fonte ( v (1,2) , indicando a corrente retirada da fonte) variam com a frequência.

Em f =0 Hz:entrada:V =0,57,14, I =5,715 mA; final:V =0,5714, I =5,715 mA.

Em f =250 KHz:entrada:V =0,4286, I =7,619 mA; final:V =0,5714, I =7,619 mA.

Em f =500 KHz:entrada:V =0,5714, I =5,715 mA; final:V =5,714, I =5,715 mA.

Em f =750 KHz:entrada:V =0,4286, I =7,619 mA; final:V =0,5714, I =7,619 mA.

Em f =1 MHz:entrada:V =0,5714, I =5,715 mA; final:V =0,5714, I =0,5715 mA.

Em harmônicos ímpares da frequência fundamental (250 kHz, Figura 3 acima e 750 kHz, Figura acima), vemos diferentes níveis de tensão em cada extremidade da linha de transmissão, porque nessas frequências as ondas estacionárias terminam em uma extremidade em um nó e na outra extremidade em um antinodo.

Ao contrário dos exemplos de linhas de transmissão em circuito aberto e em curto, os níveis de tensão máximo e mínimo ao longo desta linha de transmissão não atingem os mesmos valores extremos de 0% e 100% da tensão da fonte, mas ainda temos pontos de “mínimo” e “ tensão máxima ”.

(Figura 6 acima) O mesmo vale para a corrente:se a impedância de terminação da linha for incompatível com a impedância característica da linha, teremos pontos de corrente mínima e máxima em certos locais fixos na linha, correspondendo aos nós da onda da corrente estacionária e antinodos, respectivamente.

Proporção de ondas estacionárias

Uma forma de expressar a gravidade das ondas estacionárias é como uma razão entre a amplitude máxima (antinodo) e a amplitude mínima (nó), para tensão ou corrente.

Quando uma linha é encerrada por um aberto ou curto, esta relação de onda estacionária ou SWR é avaliado no infinito, uma vez que a amplitude mínima será zero, e qualquer valor finito dividido por zero resulta em um quociente infinito (na verdade, “indefinido”).

Neste exemplo, com uma linha de 75 Ω terminada por uma impedância de 100 Ω, o SWR será finito:1,333, calculado tomando a tensão de linha máxima em 250 kHz ou 750 kHz (0,5714 volts) e dividindo pela tensão de linha mínima ( 0,4286 volts).

A proporção da onda estacionária também pode ser calculada tomando a impedância de terminação da linha e a impedância característica da linha e dividindo o maior dos dois valores pelo menor. Neste exemplo, a impedância de terminação de 100 Ω dividida pela impedância característica de 75 Ω resulta em um quociente de exatamente 1,333, combinando com o cálculo anterior muito próximo.







Uma linha de transmissão com terminação perfeita terá um ROE de 1, uma vez que a tensão em qualquer local ao longo do comprimento da linha será a mesma, e da mesma forma para a corrente.

Novamente, isso geralmente é considerado ideal, não apenas porque as ondas refletidas constituem energia não entregue à carga, mas porque os altos valores de tensão e corrente criados pelos antinodos das ondas estacionárias podem sobrecarregar o isolamento da linha de transmissão (alta tensão) e condutores (alta corrente), respectivamente.

Além disso, uma linha de transmissão com um alto ROE tende a agir como uma antena, irradiando energia eletromagnética para longe da linha, em vez de canalizá-la toda para a carga. Isso geralmente é indesejável, pois a energia irradiada pode “acoplar” aos condutores próximos, produzindo interferência de sinal.

Uma nota de rodapé interessante sobre este ponto é que as estruturas de antena - que normalmente se assemelham a linhas de transmissão abertas ou em curto-circuito - são frequentemente projetadas para operar em alta relações de ondas estacionárias, pela razão de maximizar a radiação e recepção do sinal.

A fotografia a seguir (Figura abaixo) mostra um conjunto de linhas de transmissão em um ponto de junção em um sistema transmissor de rádio. Os grandes tubos de cobre com tampas isolantes de cerâmica nas extremidades são linhas de transmissão coaxiais rígidas de impedância característica de 50 Ω.

Essas linhas transportam energia RF do circuito transmissor de rádio para um pequeno abrigo de madeira na base de uma estrutura de antena, e desse abrigo para outros abrigos com outras estruturas de antena:

Cabos coaxiais flexíveis conectados a linhas rígidas.

O cabo coaxial flexível conectado às linhas rígidas (também de impedância característica de 50 Ω) conduz a energia de RF para redes capacitivas e indutivas de “fase” dentro do abrigo. O tubo de plástico branco que une duas das linhas rígidas transporta o gás de “enchimento” de uma linha selada para a outra.

As linhas são preenchidas com gás para evitar o acúmulo de umidade dentro delas, o que seria um problema definitivo para uma linha coaxial. Observe as “tiras” planas de cobre usadas como fios de ligação para conectar os condutores dos cabos coaxiais flexíveis aos condutores das linhas rígidas.

Por que correias planas de cobre e não fios redondos? Por causa do efeito de pele, que torna a maior parte da área da seção transversal de um condutor redondo inútil em radiofrequências.

Como muitas linhas de transmissão, estas são operadas em condições de baixo SWR. Como veremos na próxima seção, porém, o fenômeno das ondas estacionárias nas linhas de transmissão nem sempre é indesejável, pois pode ser explorado para desempenhar uma função útil:a transformação da impedância.



REVER:

• Ondas estacionárias são ondas de tensão e corrente que não se propagam (ou seja, são estacionárias), mas são o resultado da interferência entre as ondas incidentes e refletidas ao longo de uma linha de transmissão.
• Um nó é um ponto em uma onda estacionária de mínimo amplitude.
• Um antinó é um ponto em uma onda estacionária de máximo amplitude.
• As ondas estacionárias só podem existir em uma linha de transmissão quando a impedância de terminação não corresponde à impedância característica da linha. Em uma linha com terminação perfeita, não há ondas refletidas e, portanto, nenhuma onda estacionária.
• Em certas frequências, os nós e antinodos das ondas estacionárias se correlacionarão com as extremidades de uma linha de transmissão, resultando em ressonância .
• O ponto ressonante de frequência mais baixa em uma linha de transmissão é onde a linha tem um quarto de comprimento de onda. Existem pontos ressonantes em cada frequência harmônica (inteiro-múltiplo) da fundamental (um quarto de comprimento de onda).
• Razão da onda estacionária ou SWR , é a razão entre a amplitude máxima da onda estacionária e a amplitude mínima da onda estacionária. Também pode ser calculado dividindo a impedância de terminação pela impedância característica, ou vice-versa, o que sempre produz o maior quociente. Uma linha sem ondas estacionárias (combinação perfeita:Z _load a Z ₀ ) tem um SWR igual a 1.
• As linhas de transmissão podem ser danificadas pelas altas amplitudes máximas das ondas estacionárias. Os antinodos de tensão podem quebrar o isolamento entre os condutores e os antinodos de corrente podem superaquecer os condutores.