Sistemas de numeração

Algarismos romanos

Os romanos conceberam um sistema que era uma melhoria substancial em relação aos sinais hash, porque usava uma variedade de símbolos (ou cifras ) para representar quantidades cada vez maiores.

A notação para 1 é a letra maiúscula I. A notação para 5 é a letra maiúscula V. Outras cifras possuem valores crescentes:

 X =10 L =50 C =100 D =500 M =1000 

Se uma cifra for acompanhada por outra cifra de valor igual ou inferior à direita imediata dela, sem cifras maiores do que aquela outra cifra à direita dessa outra cifra, o valor dessa outra cifra é adicionado à quantidade total.

Assim, VIII simboliza o número 8 e CLVII simboliza o número 157. Por outro lado, se uma cifra for acompanhada por outra cifra de menor valor imediatamente à esquerda, o valor dessa outra cifra é subtraído desde o primeiro. Portanto, IV simboliza o número 4 (V menos I) e CM simboliza o número 900 (M menos C).

Você deve ter notado que as sequências de crédito finais para a maioria dos filmes contêm um aviso para a data de produção, em algarismos romanos. No ano de 1987, seria:MCMLXXXVII. Vamos quebrar este numeral em suas partes constituintes, da esquerda para a direita:

 M =1000 + CM =900 + L =50 + XXX =30 + V =5 + II =2 

Você não fica feliz por não usarmos este sistema de numeração? Números grandes são muito difíceis de denotar dessa forma, e a esquerda x direita / subtração x adição de valores também pode ser muito confusa.

Outro grande problema com este sistema é que não há provisão para representar o número zero ou números negativos, ambos conceitos muito importantes em matemática.

A cultura romana, entretanto, era mais pragmática com respeito à matemática do que a maioria, optando apenas por desenvolver seu sistema de numeração até onde fosse necessário para uso na vida diária.

Valor local

Devemos uma das idéias mais importantes em numeração aos antigos babilônios, que foram os primeiros (até onde sabemos) a desenvolver o conceito de posição da cifra, ou valor posicional, na representação de números maiores.

Em vez de inventar novas cifras para representar números maiores, como os romanos faziam, eles reutilizaram as mesmas cifras, colocando-as em posições diferentes da direita para a esquerda.

Nosso próprio sistema de numeração decimal usa esse conceito, com apenas dez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) usadas em posições “ponderadas” para representar números muito grandes e muito pequenos.

Cada cifra representa uma quantidade inteira, e cada lugar da direita para a esquerda na notação representa uma constante de multiplicação, ou peso , para cada quantidade inteira.

Por exemplo, se virmos a notação decimal "1206", sabemos que ela pode ser dividida em seus produtos de peso constituintes como tais:

 1206 =1000 + 200 + 6 1206 =(1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1) 

Cada cifra é chamada de dígito no sistema de numeração decimal, e cada peso, ou valor posicional, é dez vezes maior que o da direita imediata.

Então, nós temos uns lugar, um lugar de dezenas, um centenas lugar, um lugar de milhares, e assim por diante, trabalhando da direita para a esquerda.

Neste momento, você provavelmente está se perguntando por que estou me esforçando para descrever o óbvio. Quem precisa saber como funciona a numeração decimal, depois de estudar matemática tão avançada quanto álgebra e trigonometria?

O motivo é entender melhor outros sistemas de numeração, primeiro sabendo como e por que aquele com o qual você já está acostumado.

O sistema de numeração decimal usa dez cifras e pesos de posição que são múltiplos de dez. E se fizéssemos um sistema de numeração com a mesma estratégia de lugares ponderados, exceto com menos ou mais cifras?

Numeração binária

O sistema de numeração binário é esse sistema. Em vez de dez símbolos de cifras diferentes, com cada constante de peso sendo dez vezes a anterior, temos apenas dois símbolos de criptografia, e cada constante de peso é duas vezes tanto quanto o anterior.

Os dois símbolos de cifras permitidos para o sistema binário de numeração são “1” e “0”, e essas cifras são organizadas da direita para a esquerda em valores de peso dobrados. O lugar mais à direita são os uns lugar, assim como com a notação decimal. Seguindo para a esquerda, temos os dois lugar, os quatros lugar, os oitos lugar, os dezesseis lugar, e assim por diante.

Por exemplo, o seguinte número binário pode ser expresso, assim como o número decimal 1206, como uma soma de cada valor de cifra vezes sua respectiva constante de peso:

 11010 =2 + 8 + 16 =26 11010 =(1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) 

Isso pode ficar muito confuso, pois escrevi um número com numeração binária (11010) e, em seguida, mostrei seus valores de posição e total na forma de numeração decimal padrão (16 + 8 + 2 =26). No exemplo acima, estamos misturando dois tipos diferentes de notação numérica.

Para evitar confusão desnecessária, temos que denotar qual forma de numeração estamos usando quando escrevemos (ou digitamos!). Normalmente, isso é feito na forma de subscrito, com um “2” para binário e um “10” para decimal, portanto, o número binário 11010 ₂ é igual ao número decimal 26 ₁₀ .

Os subscritos não são símbolos de operação matemática como os sobrescritos (expoentes). Tudo o que eles fazem é indicar qual sistema de numeração estamos usando quando escrevemos esses símbolos para outras pessoas lerem. Se você vir “3 ₁₀ ”, Tudo isso significa é o número três escrito usando decimal numeração.

No entanto, se você vir “3 ¹⁰ ”, Isso significa algo completamente diferente:três elevado à décima (59.049). Como de costume, se nenhum subscrito for mostrado, a (s) cifra (s) são consideradas como representando um número decimal.

Normalmente, o número de tipos de cifras (e, portanto, o multiplicador de valor de posição) usados ​​em um sistema de numeração é chamado de base desse sistema. O binário é denominado numeração de "base dois" e o decimal como "base dez".

Além disso, nos referimos a cada posição de cifra em binário como um bit em vez da palavra familiar dígito usado no sistema decimal.

Agora, por que alguém usaria numeração binária? O sistema decimal, com suas dez cifras, faz muito sentido, visto que temos dez dedos para contar com as duas mãos. (É interessante que algumas antigas culturas da América Central usaram sistemas de numeração com uma base de vinte.

Presumivelmente, eles usaram os dedos das mãos e dos pés para contar !!). Mas a principal razão pela qual o sistema de numeração binária é usado em computadores eletrônicos modernos é a facilidade de representar dois estados de cifra (0 e 1) eletronicamente.

Com circuitos relativamente simples, podemos realizar operações matemáticas em números binários, representando cada bit dos números por um circuito que está ligado (corrente) ou desligado (sem corrente). Assim como o ábaco, com cada barra representando outro dígito decimal, simplesmente adicionamos mais circuitos para nos dar mais bits para simbolizar números maiores.

A numeração binária também se presta bem ao armazenamento e recuperação de informações numéricas:em fita magnética (pontos de óxido de ferro na fita sendo magnetizados para um binário "1" ou desmagnetizados para um binário "0"), discos ópticos (um laser - cova queimada na folha de alumínio representando um binário “1” e um ponto não queimado representando um binário “0”), ou uma variedade de outros tipos de mídia.

Antes de continuarmos a aprender exatamente como tudo isso é feito em circuitos digitais, precisamos nos familiarizar mais com sistemas binários e outros sistemas de numeração associados.



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