Principais Identidades da Álgebra Booleana: Visão Geral Abrangente

Em matemática, uma identidade é uma afirmação verdadeira para todos os valores possíveis de sua variável ou variáveis.

A identidade algébrica de x + 0 = x nos diz que qualquer coisa (x) adicionada a zero iguala o original "qualquer coisa", não importa qual valor aquele "qualquer coisa" (x) possa ter.

Como álgebra ordinária, álgebra booleana tem suas próprias identidades únicas baseadas nos estados bivalentes de variáveis booleanas.

 

Identidades Aditivas

Adicionando Zero

A primeira identidade booleana é que a soma de qualquer coisa e zero é a mesma que o original "qualquer coisa".

Esta identidade não difere de seu equivalente algébrico de números reais:

 

 

Não importa qual o valor de A, a saída será sempre a mesma: quando A=1, saída também será 1; quando A=0, saída também será 0.

 

Adicionando Um

A próxima identidade é definitivamente diferente de qualquer vista em álgebra normal.

Aqui descobrimos que a soma de "qualquer coisa" e um é um:

 

 

Não importa qual o valor de A, a soma de A e 1 será sempre 1.

Em certo sentido, o sinal "1" sobrescreve o efeito de A no circuito lógico, deixando saída fixa em nível lógico 1.

 

Adicionando Quantidade a Si Mesma

Em seguida, examinamos efeito de adicionar A e A juntos, o que é o mesmo que conectar ambas entradas de uma porta OR uma à outra e ativá-las com mesmo sinal:

 

 

Em álgebra de números reais, soma de duas variáveis idênticas é o dobro do valor da variável original (x + x = 2x), mas lembre que não há conceito de "2" no mundo da matemática booleana, apenas 1 e 0, então não podemos dizer que A + A = 2A.

Assim, quando adicionamos quantidade booleana a si mesma, soma iguala quantidade original: 0 + 0 = 0, e 1 + 1 = 1.

 

Adicionando Quantidade a Seu Complemento

Introduzindo conceito unicamente booleano de complementação em identidade aditiva, encontramos efeito interessante.

Como deve haver um valor "1" entre qualquer variável e seu complemento, e como soma de qualquer quantidade booleana e 1 é 1, soma de variável e seu complemento deve ser 1:

 

 

Identidades Multiplicativas

Assim como há quatro identidades booleanas aditivas (A+0, A+1, A+A, e A+A'), também há quatro identidades multiplicativas: Ax0, Ax1, AxA, e AxA'. Dessas, as duas primeiras não diferem de suas expressões equivalentes em álgebra regular:

 

Multiplicando por 0 ou 1

 

 

Multiplicando Quantidade por Si Mesma

A terceira identidade multiplicativa expressa resultado de quantidade booleana multiplicada por si mesma.

Em álgebra normal, produto de variável por si mesma é o quadrado daquela variável (3 x 3 = 3² = 9).

No entanto, conceito de quadrado implica quantidade de 2, que não tem significado em álgebra booleana, então não podemos dizer que A x A = A².

Em vez disso, descobrimos que produto de quantidade booleana e si mesma é a quantidade original, já que 0 x 0 = 0 e 1 x 1 = 1:

 

 

Multiplicando Quantidade por Seu Complemento

A quarta identidade multiplicativa não tem equivalente em álgebra regular porque usa complemento de variável, conceito único à matemática booleana.

Como deve haver um valor "0" entre qualquer variável e seu complemento, e como produto de qualquer quantidade booleana e 0 é 0, produto de variável e seu complemento deve ser 0:

 

 

Para resumir, então, temos quatro identidades booleanas básicas para adição e quatro para multiplicação:

 

 

Duplo Complemento

Outra identidade relacionada à complementação é a do duplo complemento: variável invertida duas vezes.

Complementar variável duas vezes (ou qualquer número par de vezes) resulta no valor booleano original.

Isto é análogo a negar (multiplicar por -1) em álgebra de números reais: número par de negações cancelam deixando valor original:

 

 

PLANILHAS RELACIONADAS:

• Planilha de Álgebra Booleana