Analisando Circuitos Série-Paralelo RC e RL com Impedância Complexa

Introdução

Agora que vimos como a análise de circuitos AC série e paralelo não é fundamentalmente diferente da análise DC, não deve surpreender que a análise série-paralelo seja a mesma, apenas usando números complexos em vez de escalares para representar tensão, corrente e impedância. Tome este circuito série-paralelo como exemplo:

Exemplo de circuito série-paralelo R, L e C.

Determinação de Impedâncias

A primeira ordem de negócios, como de costume, é determinar valores de impedância (Z) para todos os componentes baseados na frequência da fonte de energia AC. Para isso, precisamos primeiro determinar valores de reatância (X) para todos os indutores e capacitores, então converter reatância (X) e resistência (R) em forma de impedância (Z) adequada:

Configuração Inicial da Tabela

Agora podemos configurar os valores iniciais em nossa tabela:

Sendo um circuito combinação série-paralelo, devemos reduzi-lo a uma impedância total em mais de uma etapa. A primeira etapa é combinar L e C₂ como uma combinação série de impedâncias, somando suas impedâncias.

Então, essa impedância será combinada em paralelo com a impedância do resistor, para chegar a outra combinação de impedâncias. Finalmente, essa quantidade será adicionada à impedância de C₁ para chegar à impedância total.

Para que nossa tabela possa seguir todas essas etapas, será necessário adicionar colunas adicionais para que cada etapa possa ser representada.

Adicionar mais colunas horizontalmente à tabela mostrada acima seria impraticável por razões de formatação, então colocarei uma nova linha de colunas embaixo, cada coluna designada por sua respectiva combinação de componentes:

Calcular essas novas impedâncias (combinação) requer adição complexa para combinações série e a fórmula do "reciproco" para impedâncias complexas em paralelo. Desta vez, não há como evitar a fórmula do reciproco: os números necessários não podem ser obtidos de outra forma!

Vendo que nossa segunda tabela contém uma coluna para "Total", podemos descartar com segurança essa coluna da primeira tabela. Isso nos dá uma tabela com quatro colunas e outra com três colunas.

Agora que sabemos a impedância total (818,34 Ω ∠ -58,371°) e a tensão total (120 volts ∠ 0°), podemos aplicar a Lei de Ohm (I=E/Z) verticalmente na coluna "Total" para chegar a um valor para corrente total:

Neste ponto, nos perguntamos: há algum componente ou combinação de componentes que compartilhe a tensão total ou a corrente total? Neste caso, tanto C₁ quanto a combinação paralela R//(L—C₂) compartilham a mesma corrente (total), já que a impedância total é composta pelos dois conjuntos de impedâncias em série.

Assim, podemos transferir o valor da corrente total para ambas as colunas:

Agora, podemos calcular quedas de tensão através de C₁ e da combinação série-paralelo de R//(L—C₂) usando a Lei de Ohm (E=IZ) verticalmente naquelas colunas da tabela:

Uma verificação rápida do nosso trabalho neste ponto seria ver se as quedas de tensão através de C₁ e da combinação série-paralelo de R//(L—C₂) de fato somam o total. De acordo com a Lei de Tensão de Kirchhoff, elas devem!

Tendo resolvido as quedas de tensão através de C₁ e da combinação R//(L—C₂), novamente perguntamos: quais outros componentes compartilham a mesma tensão ou corrente?

Neste caso, o resistor (R) e a combinação do indutor e do segundo capacitor (L—C₂) compartilham a mesma tensão, porque aqueles conjuntos de impedâncias estão em paralelo entre si. Portanto, podemos transferir o valor de tensão recém-resolvido para as colunas de R e L—C₂:

Agora estamos prontos para calcular a corrente através do resistor e através da combinação série L—C₂. Tudo o que precisamos fazer é aplicar a Lei de Ohm (I=E/Z) verticalmente em ambas as colunas:

Outra verificação rápida: ver se os valores de corrente para L—C₂ e R somam a corrente total. De acordo com a Lei de Corrente de Kirchhoff, eles devem:

Como L e C₂ estão conectados em série, e como sabemos a corrente através de sua impedância de combinação série, podemos distribuir esse valor de corrente para as colunas de L e C₂ seguindo a regra de circuitos série onde componentes série compartilham a mesma corrente:

Com um último passo (na verdade, dois cálculos), podemos completar nossa tabela de análise para este circuito. Com figuras de impedância e corrente no lugar para L e C₂, tudo o que temos a fazer é aplicar a Lei de Ohm (E=IZ) verticalmente naquelas duas colunas para calcular quedas de tensão.

Verificação com SPICE

Agora, vamos recorrer ao SPICE para uma verificação computacional do nosso trabalho:

Exemplo de circuito SPICE série-paralelo R, L, C.

ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01
freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02
freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02
freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

Cada linha da listagem de saída SPICE dá a tensão, ângulo de fase da tensão, corrente e ângulo de fase da corrente para C₁, L, C₂ e R, nessa ordem. Como você pode ver, essas figuras concordam com nossos valores calculados à mão na tabela de análise do circuito.

Por mais assustadora que a análise de circuitos AC série-paralelo possa parecer, deve ser enfatizado que não há nada realmente novo acontecendo aqui além do uso de números complexos. A Lei de Ohm (em sua nova forma E=IZ) ainda vale, assim como as Leis de Tensão e Corrente de Kirchhoff.

Embora haja mais potencial para erro humano na realização dos cálculos complexos necessários, os princípios básicos e técnicas de redução de circuitos série-paralelo são exatamente os mesmos.

REVISÃO

• Análise de circuitos AC série-paralelo é muito semelhante a circuitos DC série-paralelo. A única diferença substancial é que todas as figuras e cálculos estão na forma complexa (não escalar).
• É importante lembrar que antes que a redução série-paralelo (simplificação) possa começar, você deve determinar a impedância (Z) de cada resistor, indutor e capacitor. Dessa forma, todos os valores dos componentes serão expressos em termos comuns (Z) em vez de uma mistura incompatível de resistência (R), indutância (L) e capacitância (C).

PLANILHA RELACIONADA

• Planilha de Circuitos AC Série-Paralelo