Estimativa Precisa de Energia de Supercapacitores Usando Modelos Diferenciais Fracionários

Resumo

Este artigo apresenta novos resultados sobre o uso exclusivo de medições de tensão nos terminais do supercapacitor para estimativa de energia acumulada. Para esse fim, realiza-se um estudo baseado na aplicação de modelos de ordem fracionária de circuitos de carga/descarga de supercapacitores. As estimativas de parâmetros dos modelos são então utilizadas para avaliar a quantidade de energia acumulada no supercapacitor. Os resultados obtidos são comparados com a energia determinada experimentalmente pela medição de tensão e corrente nos terminais do supercapacitor. Todos os testes são repetidos para diversos formatos e parâmetros de sinais de entrada. A altíssima consistência entre resultados estimados e experimentais confirma plenamente a adequação da abordagem proposta e, portanto, a aplicabilidade do cálculo fracionário à modelagem de armazenamento de energia em supercapacitores.

Introdução

Atualmente, os supercapacitores são componentes principais de muitos dispositivos e sistemas, como fontes de alimentação de backup, sistemas de recuperação de energia, aplicações automotivas, veículos híbridos e muitos outros. A capacidade de acumular carga sem reações químicas faz com que esses elementos tenham centenas de vezes mais ciclos de carga/descarga em comparação às baterias típicas. Além disso, as altas taxas de carga/descarga os tornam eficazes para aplicações em sistemas de recuperação de energia usados, por exemplo, em transporte ou fontes de energia renováveis. Em todas essas aplicações, o parâmetro-chave é a informação sobre a quantidade de energia acumulada no supercapacitor. Infelizmente, a relação bem conhecida para capacitores típicos que permite determinar essa informação, ou seja, (1/2)CU², não pode ser usada. A quantidade de energia acumulada não pode ser determinada apenas com base na tensão nos terminais do capacitor. A principal razão para isso é o processo de difusão associado à redistribuição de carga. Por isso, muitos pesquisadores têm tentado determinar um modelo de supercapacitor que permita estimar o comportamento de um sistema real. Atualmente, os pesquisadores adotam principalmente combinações de elementos eletrônicos típicos, como quadripólos RC ou combinações em série e paralelo de tais elementos. No entanto, todos esses modelos assumem uma relação entre a corrente do supercapacitor e a tensão em seus terminais na forma de uma equação diferencial de ordem inteira típica.

Mas acontece que possibilidades completamente novas para estimativa de energia em tais sistemas podem ser obtidas pela aplicação do cálculo fracionário. O cálculo diferencial-integral de ordem não inteira foi proposto há mais de 300 anos, mas questões importantes de implementação estão relacionadas ao advento dos computadores e seu uso na modelagem de sistemas dinâmicos de tempo discreto. A aplicação do cálculo fracionário ao problema de estimativa de parâmetros de supercapacitores não é um problema novo. Existem muitas publicações nessa área. Os autores realizam a tarefa de estimar parâmetros tanto no domínio da frequência quanto no do tempo.

Este artigo é uma versão estendida da apresentação em conferência do autor, na qual uma abordagem de ordem fracionária foi brevemente introduzida para estimar a energia acumulada no supercapacitor.

A estimativa precisa dos parâmetros dos supercapacitores também é de suma importância na avaliação de sua confiabilidade. Processos permanentes de degradação dentro do supercapacitor podem alterar a resistência série equivalente e a capacitância. Assim, a determinação precisa desses parâmetros, baseada no método proposto, também permite avaliar com precisão o desempenho do capacitor.

Este artigo começa com alguns preliminares relacionados à integração e diferenciação de ordem fracionária. Em seguida, apresenta o método de estimativa de parâmetros usado nos testes e propõe um novo método de cálculo de energia baseado no cálculo fracionário. A seção Resultados e Discussão apresenta a energia calculada para vários cenários e a compara com valores de referência (medidos). Conclusões e contribuições são resumidas na seção Conclusões.

Métodos

O uso de materiais porosos em supercapacitores e a maneira específica de acumulação de carga fazem com que abordagens tradicionais baseadas em modelos de derivada de ordem inteira não sejam precisas o suficiente. Muitos pesquisadores propuseram várias soluções na forma de combinações de elementos RC típicos com valores constantes ou variáveis. Mas acontece que precisão definitivamente melhor pode ser obtida usando cálculo diferencial de ordem não inteira para definir as relações entre a corrente e a tensão do supercapacitor. Além disso, tal solução pode resultar em uma estrutura de modelo muito simples, enquanto fornece precisão muito alta.

Cálculo Diferencial-Integral de Ordem Fracionária

O cálculo diferencial de ordem fracionária é conhecido há mais de 300 anos. No entanto, apenas nos últimos anos trouxe sua popularidade na modelagem de fenômenos e processos físicos. Acredita-se que a descrição da dinâmica com uma derivada ou integral de ordem não inteira pode ser um dos métodos mais eficazes para modelar propriedades reais de muitos fenômenos complexos e processos industriais, especialmente baseados em novos materiais e tecnologias.

O cálculo diferencial ou integral de ordem não inteira é uma generalização do cálculo clássico para ordem α que pertence ao conjunto dos números reais ℛ. O operador diferencial-integral de ordem α ∈ ℛ da função f(t) no intervalo [a, t] pode ser escrito como:

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{para} & \alpha>0\\ f(t) & \text{para} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \textrm {para} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

assumindo que a função f(t) é múltiplas vezes diferenciável e integrável. Quanto ao operador (1), existem muitas definições de sua realização. Tais definições diferem em propriedades e áreas de aplicação. As mais populares são as definições de Riemann-Liouville, Caputo e Grünwald-Letnikov (GL). Esta última será usada neste artigo na forma:

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), $$ (2)

onde o binomial α escolhe j é definido como:

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textup {para} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{para} & j>0. \end{array} \right. $$ (3)

Para obter um modelo fracionário em momentos discretos de tempo, a definição GL em forma discreta é simplificada como:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). $$ (4)

Existem vários esquemas de discretização para a Eq. (4) de GL. Os mais populares incluem diferenças para trás (Euler), trapézio (Tustin) e operadores Al-Alaoui. Usando o método de Euler, a derivada fracionária em momentos de tempo discretos k pode ser apresentada como:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

A soma infinita de amostras anteriores deve, em sistemas reais, ser limitada a um valor finito devido à memória limitada e tempo de cálculo limitado. Agora, a aproximação de tempo discreto de comprimento finito ou truncada de GL é:

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

onde f(l)=0 para l<0 e L é o comprimento do modelo (6). Reduzir o número de amostras resulta em diminuição da precisão do cálculo. Isso é importante para sistemas operando em tempo contínuo. Alguns outros tipos de solução são algoritmos que aproximam diferenças-integrais fracionárias com modelos de ordem inteira. Um exemplo podem ser os filtros recursivos de Oustaloup. Outro modelo eficaz de comprimento finito é o FFLD, sendo uma combinação do modelo truncado (6) e uma diferença baseada em Laguerre.

Todos os resultados de identificação, bem como medições de energia, são obtidos com base em todas as amostras na janela de observação (longa) L, ou seja, com precisão máxima. A Figura 1 apresenta as respostas de degrau de integração e diferenciação obtidas com base em (6), para k=0,1,…,L e para vários valores de ordem de integração/diferenciação α. Assumindo diferentes valores de ordem α, pode-se modelar com mais precisão diferentes processos físicos, especialmente os de difusão.

Estimação de Parâmetros para Modelo Fracionário

Os resultados de todas as medições de energia e procedimentos de identificação apresentados neste artigo foram obtidos para um supercapacitor carregado a partir de uma fonte de tensão controlada. Em tal sistema, a corrente do supercapacitor i_C(t) deve ser limitada por um resistor R conectado em série com o supercapacitor C (Fig. 2). A estimativa de todos os parâmetros do supercapacitor é realizada com base na resposta do quadripolo u_C(t) a um degrau de tensão u(t) em sua entrada. A escolha do valor apropriado da ordem da derivada α permite contabilizar um modelo de supercapacitor dos fenômenos físicos relacionados aos processos de difusão associados à redistribuição de carga durante os processos de carga e descarga. O resistor paralelo r_P adicionalmente permite modelar a corrente de fuga. Usando o cálculo diferencial fracionário para modelar supercapacitores, a estrutura do modelo pode ser de baixa complexidade. Para supercapacitor carregado da fonte de tensão, um modelo consiste em apenas dois elementos, ou seja, um simples quadripolo RC (Fig. 2a). Para baixas capacitâncias, a resistência série r_S é importante (Fig. 2b), enquanto a corrente de fuga I_L pode ser adicionalmente representada pela resistência paralela r_P (Fig. 2c). Usando o cálculo de ordem fracionária para modelar o supercapacitor, a relação entre a tensão nos terminais do capacitor e sua corrente pode ser expressa como:

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

onde o operador d^α/dt^α significa um operador de diferenciação de ordem α e a unidade SI de C_α é [F/seg^1−α]. A configuração básica do supercapacitor apresentada na Fig. 2a pode ser tratada como um sistema inercial de primeira ordem e pode ser representada pela função de transferência fracionária:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8)

onde T=R C_α. Levando em conta a resistência série r_S (Fig. 2b), o circuito é tratado como sistema de correção de atraso de fase com a função de transferência:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, $$ (9)

onde T₁=C_α(R+r_S) e T₂=r_SC_α. Além disso, permitindo o resistor paralelo r_P representando a corrente de fuga I_L (Fig. 2c), a função de transferência do sistema pode ser expressa como:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

onde K=R/r_P+1, T₁=C(R r_s/r_P+R+r_S) e T₂=r_SC. No domínio do tempo, a Eq. (10) pode ser apresentada como:

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. $$ (11)

A resposta temporal do modelo definido por (11) foi obtida transformando-o na forma apresentada graficamente na Fig. 3, onde as operações de integração e diferenciação são de ordem fracionária α. Este modelo foi usado durante o processo de estimativa de parâmetros do supercapacitor. O supercapacitor testado foi identificado usando o sistema apresentado na Fig. 4a. O procedimento de controle de todo o sistema foi desenvolvido usando o software Matlab/Simulink com xPC Toolbox. O sistema consistia em um PC desktop (xPC Target) com placa de medição NI-DAQ instalada e computador mestre (xPC Host). Os computadores eram interconectados através da rede Ethernet. O supercapacitor era carregado e descarregado por fonte de tensão (controlada por tensão) (Fig. 4b) de eficiência de corrente até ± 3 A. O sistema de medição operava com frequência de amostragem de 100 Hz, enquanto todas as medições e sinais de controle analógicos eram processados com resolução de 16 bits.

O principal método para determinar as propriedades dinâmicas de um sistema baseia-se na análise da resposta ao degrau. Em relação ao modelo do sistema, este método permite a estimativa de seus parâmetros. Para este estudo, o sinal de degrau com várias tensões (0,5/1,0/1,5/2,0/2,7 V) e duração constante (500 s) foi usado (ver Fig. 5 e Tabela 2). Por outro lado, uma das aplicações típicas de supercapacitores é a acumulação ou entrega de energia em sistemas de potência. Neste caso, a taxa de variação de tensão é bastante pequena. Para simulá-la, foi usado sinal de 400 mVpp e 0,03 rad/s com offset de 2 V (Fig. 6). Adicionalmente, para examinar a influência das mudanças de tensão e frequência nos parâmetros estimados, vários valores destes últimos foram usados (ver Tabela 3).

Existem vários métodos para estimativa de parâmetros do modelo. O objetivo principal do procedimento de identificação no domínio do tempo aplicado neste trabalho foi estimar o vetor de parâmetros desconhecidos θ=[α, C_α, r_S, r_P] do modelo fracionário apresentado por (11). O método dos mínimos quadrados foi usado para minimizar o erro inicial. Um critério de otimização envolveu a minimização do erro padrão ||ε(k)||²₂, onde:

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

onde u_C(k) é a tensão de saída medida do sistema testado no momento k, enquanto û_C(k) é a tensão de saída do modelo considerado para o sinal de entrada u(k). O problema de identificação agora se reduz a encontrar um vetor de parâmetros θ∈Θ_ad que minimizaria o critério quadrático J de tal maneira que:

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, $$ (13)

onde Θ_ad denota o conjunto de valores admissíveis de parâmetros e N significa o tempo de simulação. Existem muitos algoritmos de otimização que podem ser usados para resolver o problema (13). Os resultados apresentados neste artigo foram obtidos implementando o algoritmo genético no ambiente Matlab.

Cálculo de Energia

Uma mudança na energia armazenada no supercapacitor depende da potência fornecida ao capacitor por unidade de tempo e pode ser descrita como:

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

Expressando a potência fornecida ao capacitor como produto da corrente e tensão nos terminais do capacitor, a mudança de energia em dado tempo t pode ser expressa como:

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

A energia total durante o intervalo de tempo [t₁, t₂] pode ser obtida integrando as mudanças de energia sobre esse tempo:

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

Considerando a Eq. (7), o armazenamento total de energia pode ser determinado como:

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

Assumindo t₁=0 e E_t1=0, a energia total armazenada no supercapacitor durante o intervalo de tempo [0, t] é:

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

Note que para α=1 a Eq. (18) pode ser reduzida à clássica:

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

Resultados e Discussão

Inicialmente, o procedimento para estimar o vetor de parâmetros do modelo do supercapacitor usando o cálculo fracionário foi realizado. A estimativa foi realizada com base no sistema apresentado na Fig. 2c, gerando um degrau de tensão ou onda senoidal em sua entrada. As respostas do modelo foram calculadas com base em (11). Os resultados obtidos pelos dois procedimentos de identificação são muito semelhantes, especialmente no caso da capacitância fracionária C_α e da ordem fracionária α (ver Tabela 1). Algumas diferenças nas estimativas da resistência série r_S podem ser resultado de sua dependência da frequência. O sinal de degrau consiste em muitos harmônicos de alta frequência, enquanto a onda senoidal apenas um – o de 0,03 rad/s. Os resultados apresentados foram obtidos para o supercapacitor comercial Samwha Green-Cap EDLC(DB), classificado como 2,7 V com 100 F de capacitância nominal e 8 mΩ de resistência série equivalente máxima (r_S) a 1 kHz.

As Figuras 5a e 6a mostram a tensão medida do supercapacitor e as respostas do modelo calculadas, para sinais de degrau e senoidais, respectivamente, enquanto as Figs. 5b e 6b mostram o erro de resposta do modelo.

Todos os resultados obtidos mostram alta consistência entre respostas do modelo e medições reais, apesar do fato de que modelos relativamente simples foram propostos. Algumas discrepâncias podem resultar do fato de que os parâmetros do modelo devem ser estimados no sistema de supercapacitor carregado e descarregado usando fonte de corrente. Além disso, estimativas muito altas de r_P podem sugerir que essa resistência poderia ser excluída do modelo do supercapacitor mostrado na Fig. 2c. Essas estimativas muito altas e suas altas discrepâncias para diferentes entradas indicam que os sinais de teste usados para estimar este parâmetro não são adequados. O modelo (10) foi usado como a forma mais geral. No entanto, para determinar com precisão todos os seus parâmetros, era necessário usar outros procedimentos e sinais de teste. O valor de r_P caracteriza a corrente de fuga I_L e deve ser determinado usando o sinal de tensão constante, mas por um tempo muito longo – da ordem de várias dezenas de horas.

Embora o objetivo principal do estudo fosse medir energia, várias condições de excitação afetaram amplamente todas as estimativas de parâmetros (ver Tabela 2). Por exemplo, o aumento da amplitude do degrau de tensão mudou significativamente a ordem de integração fracionária, como resultado do aumento do efeito dos fenômenos de difusão dentro do supercapacitor. Também pode ser visto na Tabela 2 que o supercapacitor é bastante não linear. Como resultado das mudanças na ordem de integração, a variação da capacitância fracionária também é observada. Isso também se aplica à excitação senoidal. Os valores dos parâmetros estimados – especialmente α e C_α – dependem da amplitude e frequência (ver Tabela 3). Para baixas frequências, o valor da amplitude é importante, enquanto para frequências mais altas o supercapacitor se comporta como se fosse excitado com tensão constante.

Cálculo de Energia

As Figuras 7a e 8a mostram os valores medidos da tensão e corrente do supercapacitor para a configuração apresentada na Fig. 4b. Esses valores foram usados para o cálculo da energia total armazenada no capacitor (marcada como E₁ nas Figs. 7b e 8b) de acordo com (16). Assim como nos processos de identificação de parâmetros, os cálculos foram conduzidos tanto para degrau de tensão quanto para onda senoidal na entrada do sistema. A energia calculada dessa maneira para cada tempo t foi comparada com a energia calculada com base na tensão e capacitância de acordo com (19) (marcada como E₃ nas Figs. 7b e 8b) e energia calculada com cálculo de ordem fracionária (marcada como E₂ nas Figs. 7b e 8b) de acordo com (18). Para a Eq. (19), um valor nominal do supercapacitor foi adotado (C_n), enquanto em (18) o valor obtido do processo de estimativa apresentado na Tabela 1 foi usado. A Figura 7b mostra resultados de medições e cálculos de energia para degrau de tensão, enquanto a Fig. 8b mostra essas mesmas grandezas para onda senoidal. Cálculos semelhantes foram feitos para diferentes degraus de tensão e excitações senoidais. A Figura 9a, b mostra um exemplo de energias medidas e calculadas para dois degraus de tensão de 0,5 V e 2,7 V, respectivamente. A Figura 10 mostra as mudanças de energia para um sinal senoidal com frequência de 0,03 rad/seg e diferentes amplitudes de 0,1/0,25/0,5 e 0,7 V. Pode-se ver que as diferenças nos valores de energia determinados correspondem às diferenças nos valores estimados da ordem fracionária α. Quanto maior a diferença do valor -1, maior é a diferença nas energias calculadas.

Discussão

O uso de eletrodos de material poroso em supercapacitores na forma de carvão ativo isolado por um separador muito fino e uso de mecanismos de acumulação de carga como a chamada camada dupla, dá um enorme aumento em sua capacidade. No entanto, a aplicação de novos materiais e novas soluções de projeto resultam no fato de que cálculos matemáticos tradicionais na forma de derivadas e integrais de ordem inteira aparecem imprecisos. As medições e cálculos conduzidos provam a natureza de ordem fracionária dos supercapacitores. Pela correta estimativa da ordem não inteira α da derivada/integral, pode-se modelar com precisão fenômenos e processos ocorrendo dentro do supercapacitor usando modelos matemáticos simples.

Levando em conta o valor real da energia acumulada determinada por (16), o modelo de ordem inteira com parâmetros nominais (19) subestima a quantidade de energia, enquanto o modelo fracionário (18) indica quase o mesmo valor.

Os testes e medições realizados estavam relacionados à carga e descarga do supercapacitor por uma fonte de tensão. Sob condições industriais, os supercapacitores são geralmente carregados e descarregados por fontes de corrente. Isso pode mudar a natureza do sistema porque o capacitor não é mais um sistema inercial, mas se torna um integrador típico. No entanto, as medições conduzidas pelo autor também indicam a ocorrência de processos de difusão em tais casos. De qualquer forma, a utilidade da derivada/integral de Grünwald-Letnikov é confirmada aqui. Outra questão está relacionada à implementação do operador diferencial-integral GL como, por exemplo, a diferença GL finita ou truncada (6), que pode ser computacionalmente onerosa. Em pesquisas futuras, compararemos os aproximadores de Oustaloup e FFLD para resolver efetivamente o problema de implementação.

A quantidade de armazenamento de energia em supercapacitor calculada apenas no valor medido da tensão terminal do supercapacitor e usando o modelo (19) não é apropriada. O modelo (19) é válido apenas se a corrente do capacitor é caracterizada pela derivada de ordem inteira da tensão do capacitor (i_C(t)=du_C(t)/dt). Isso não é verdade para supercapacitor como consequência de sua construção e materiais especiais usados. No entanto, o mesmo problema ocorre com supercapacitores muito grandes carregados por fonte de corrente. Existem também elementos bastante novos como super-baterias. Em todas essas aplicações, as mudanças de corrente não são caracterizadas pela derivada de ordem inteira da tensão terminal como consequência das propriedades específicas desses elementos.

Conclusões

Neste artigo, uma nova abordagem para estimativa da quantidade de energia acumulada em supercapacitores foi apresentada. A análise foi conduzida aproveitando certas propriedades únicas de modelos de ordem fracionária. Mostrou-se que a aplicação de tal modelagem sofisticada leva a resultados muito precisos, que podem ser obtidos mesmo que os modelos em si não sejam de alta complexidade. Isso se deve à capacidade natural da dinâmica de ordem não inteira de modelar processos de difusão, assim como a redistribuição de carga em supercapacitores. Os resultados deste artigo confirmaram a natureza fracionária dos supercapacitores.