Regras booleanas para simplificação

A álgebra booleana encontra seu uso mais prático na simplificação de circuitos lógicos.

Se traduzirmos a função de um circuito lógico em forma simbólica (booleana) e aplicarmos certas regras algébricas à equação resultante para reduzir o número de termos e / ou operações aritméticas, a equação simplificada pode ser traduzida de volta na forma de circuito para um circuito lógico em execução a mesma função com menos componentes.

Se uma função equivalente puder ser alcançada com menos componentes, o resultado será maior confiabilidade e menor custo de fabricação.

Para esse fim, existem várias regras de álgebra booleana apresentadas nesta seção para uso na redução de expressões às suas formas mais simples.

As identidades e propriedades já revisadas neste capítulo são muito úteis na simplificação booleana e, em sua maioria, apresentam semelhanças com muitas identidades e propriedades da álgebra “normal”.

No entanto, as regras mostradas nesta seção são exclusivas da matemática booleana.







Esta regra pode ser comprovada simbolicamente ao fatorar um “A” dos dois termos e, em seguida, aplicar as regras de A + 1 =1 e 1A =A para obter o resultado final:







Observe como a regra A + 1 =1 foi usada para reduzir o termo (B + 1) para 1.

Quando uma regra como “A + 1 =1” é expressa usando a letra “A”, isso não significa que se aplica apenas a expressões que contêm “A”.

O que “A” representa em uma regra como A + 1 =1 é qualquer variável booleana ou coleção de variáveis.

Este é talvez o conceito mais difícil para novos alunos dominarem na simplificação booleana:aplicar identidades, propriedades e regras padronizadas a expressões que não estejam na forma padrão.

Por exemplo, a expressão booleana ABC + 1 também se reduz a 1 por meio da identidade “A + 1 =1”.

Nesse caso, reconhecemos que o termo "A" no formulário padrão da identidade pode representar todo o termo "ABC" na expressão original.

A próxima regra é semelhante à primeira mostrada nesta seção, mas na verdade é bem diferente e requer uma prova mais inteligente:







Observe como a última regra (A + AB =A) é usada para “não simplificar” o primeiro termo “A” na expressão, transformando “A” em “A + AB”.

Embora isso possa parecer um retrocesso, certamente ajudou a reduzir a expressão a algo mais simples!

Às vezes, em matemática, devemos dar passos “para trás” para alcançar a solução mais elegante.

Saber quando dar tal passo e quando não fazer é parte da arte da álgebra, assim como uma vitória em um jogo de xadrez quase sempre requer sacrifícios calculados.

Outra regra envolve a simplificação de uma expressão de produto das somas:







E, a prova correspondente:





Para resumir, aqui estão as três novas regras de simplificação booleana expostas nesta seção:







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