Da Nanoescala à Macroescala: Como a Área de Contato de Superfícies Rugosas Evolui Sob Carga Normal

Resumo

A evolução da área de contato com a carga normal para superfícies rugosas tem grande importância fundamental e prática, variando de dinâmica de terremotos a desgaste de máquinas. Este trabalho preenche a lacuna entre a escala atômica e a macroscópica para o comportamento de contato normal. A área de contato real, formada por um grande conjunto de contatos discretos (aglomerados), prova ser muito menor que a área aparente da superfície. A distribuição dos aglomerados de contato discretos e a interação entre eles são fundamentais para revelar o mecanismo dos sólidos em contato. Para este fim, a dinâmica molecular de função de Green (GFMD) é usada para estudar tanto como o aglomerado de contato evolui da escala atômica à macroscópica quanto a interação entre aglomerados. Descobriu-se que a interação entre aglomerados tem forte efeito em sua formação. A formação e distribuição dos aglomerados de contato é muito mais complexa que a prevista pelo modelo de asperezas. A ignorância da interação entre eles leva à superestimação da força de contato. No contato real, os aglomerados de contato são menores e mais discretos devido à interação entre as asperezas. Compreender a natureza exata da área de contato com a carga normal é essencial para a pesquisa subsequente sobre atrito.

Introdução

A maioria das superfícies macroscópicas é considerada rugosa e fractal [1, 2]. O comportamento de contato entre superfícies rugosas é muito mais complexo que o de superfícies perfeitamente lisas [3, 4]. A área de contato real é formada por um grande conjunto de regiões de contato discretas (aglomerados), que é muito menor que a área aparente da superfície. A força normal e o tamanho, forma e distribuição dos aglomerados de contato são fundamentais para revelar o comportamento de contato, o que é essencial para os estudos subsequentes sobre atrito [5,6,7].

Para obter a relação entre a área de contato e a carga, numerosos modelos foram propostos desde os anos 1960 [1, 8,9,10,11,12,13,14]. Entre eles, o modelo de asperezas é o mais simples e popular. Em uma das primeiras aplicações do modelo de asperezas, Greenwood e Williamson [8] descrevem a rugosidade da interface de contato assumindo que as asperezas têm os mesmos raios mas alturas diferentes. Desde então, o modelo de asperezas prevaleceu e uma vasta literatura apareceu neste campo. Whitehouse e Archard [15] desenvolveram o modelo Greenwood-Williamson (G-W) considerando os raios de curvatura aleatórios das pontas das asperezas. Nayak [16,17,18] introduziu técnicas de teoria de processos aleatórios [19, 20] na análise de rugosidade gaussiana, posteriormente usado por Bush et al. [9] em contato de superfícies rugosas.

Uma das suposições básicas no modelo de asperezas é que a interação entre as asperezas pode ser negligenciada, o que indica que as asperezas de contato potenciais podem ser determinadas pela geometria da superfície antecipadamente. No entanto, esta suposição pode levar a estimativas imprecisas da força de contato e área de contato. Para obter a evolução dos aglomerados de contato e a interação entre eles, utilizamos a dinâmica molecular de função de Green (GFMD) [21,22,23] para estudar a superfície rugosa fractal.

Este trabalho visa preencher a lacuna entre a escala atômica e a macroscópica para o comportamento de contato normal. A evolução da área de contato da escala atômica à macroscópica é demonstrada através de exemplos numéricos considerando as interações entre asperezas. Na discussão subsequente, apresentamos brevemente nossas abordagens para geração de superfície fractal, o modelo GFMD, o algoritmo de detecção de aglomerados de contato e o desenho experimental numérico. Em seguida, focamos na formação e desenvolvimento do aglomerado de contato e a influência destes processos nos comportamentos da interface.

Métodos

Geração de Superfície Rugosa Fractal

Para estudar o comportamento de contato da superfície rugosa, precisamos gerar a superfície para o modelo numérico. Vários algoritmos têm sido usados para superfícies fractais [24]. Neste trabalho, usamos o método de transformada de Fourier para gerar superfícies rugosas fractais, como visto na Fig. 1. Quatro parâmetros são necessários para determinar a geometria da superfície rugosa fractal: a frequência máxima (w_H), a frequência mínima (w_L), o expoente de Hurst (H) e o desvio padrão da amplitude (P). Os parâmetros estatísticos básicos da superfície, como altura RMS (√M₀), inclinação RMS (√M₂) e curvatura RMS (√M₄), são parâmetros chave para os comportamentos da interface, onde M_i é o i-ésimo momento radial do espectro da superfície [19, 20]. Vale notar que o parâmetro estatístico da superfície M_i está relacionado aos parâmetros estatísticos do perfil m_i pela equação: M₀=m₀, M₂=2m₂, M₄=4/3 m₄. É bem conhecido que a densidade de asperezas n (picos ou vales da superfície) pode ser determinada pela equação:

$$ n=\frac{1}{6\pi \sqrt{3}}\left(\frac{m_4}{m_2}\right) \tag{1} $$

Adicionalmente, o número total de picos/vales da superfície N é expresso por

$$ N={A}_0\times n={A}_0\frac{1}{6\pi \sqrt{3}}\left(\frac{m_4}{m_2}\right) \tag{2} $$

onde A₀ é a área aparente da superfície. Para a superfície fractal auto-afim, os parâmetros estatísticos da superfície estão relacionados aos parâmetros de entrada (w, H, P) pela equação:

$$ {m}_i={\int}_{w_L}^{w_H}{\omega}^i{\varPhi}_{\phi}\left(\omega \right) d\omega ={\int}_{w_L}^{w_H}{\omega}^iB{\omega}^{-\left(1+2H\right)} d\omega \tag{3} $$

onde B é a constante de rugosidade da superfície, relacionada a P. As equações (3) e (2) indicam que o número de picos/vales da superfície fractal depende do comprimento de onda e do expoente de Hurst. Discussões detalhadas das propriedades estatísticas da superfície fractal podem ser encontradas na literatura [25, 26].

No algoritmo de transformada de Fourier, como exemplo típico, definimos o componente de Hurst como H = 0,5, a frequência máxima como w_L = 1/(24σ), a frequência mínima como w_H = 1/(256σ), o desvio padrão da amplitude de frequência como P = 0,69, e o tamanho do sistema como 512 × 512 átomos (com espaçamento inicial igual a 1,12σ). Estes parâmetros de entrada subsequentemente geram a superfície com os seguintes parâmetros estatísticos: inclinação RMS da superfície √M₂ = 0,077 e curvatura RMS √M₄ = 0,0077. O número total de picos/vales da superfície é 150 baseado na Eq. (2), enquanto pela contagem numérica, o número de picos da superfície é 158 e o de vales é 159. O erro está dentro de 5%, o que sugere que o tamanho do sistema é aceitável em sentido estatístico. De fato, quando aumentamos o tamanho do sistema para 2048 × 2048 átomos (com espaçamento inicial igual a 1,12σ), os resultados para os parâmetros estatísticos são consistentes com os do sistema menor.

Modelo GFMD

A interação inter-partículas é muito difícil de capturar experimentalmente [6, 27]. Recentemente, a dinâmica molecular tem sido usada para simular interação inter-partículas, visando investigar as origens moleculares do mecanismo de contato/atrito. No entanto, o custo computacional é consideravelmente alto para simulações de dinâmica molecular em grande escala. Portanto, o GFMD é introduzido para simular a superfície devido à sua alta eficiência. O GFMD usa dinâmica molecular para simular a interação dos átomos da interface (duas camadas aqui), enquanto a camada não-interface, que geralmente exibe comportamentos elásticos, é simulada pela função de Green. Assim, reduz o grande sistema atômico a átomos de duas camadas na interface (como visto na Fig. 1), o que reduz dramaticamente o custo computacional. Discussões detalhadas do GFMD podem ser vistas na literatura [21,22,23, 28]. No modelo GFMD, o potencial Lennard-Jones (LJ) é usado para simular a interação inter-partículas. A equação é escrita como

$$ u(r)=4\varepsilon \left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r}\right)^6\right] \tag{4} $$

onde ε é a profundidade do poço de potencial, σ é a distância finita na qual o potencial inter-partículas é zero, e r é a distância entre as partículas. Tomamos ε, σ e ε/σ como unidade de energia, distância e força, respectivamente. Segundo o potencial LJ, sabemos que quando r = 2¹ᐟ⁶ σ ≈ 1,12σ, a força inter-partículas é zero. Quando r > 1,12σ, a força inter-partículas é atrativa; quando r < 1,12σ, a força inter-partículas é repulsiva. Como não consideramos adesão neste trabalho, a distância de corte é definida como 1,12σ. A estrutura cristalina usada para a camada atômica é cúbica de faces centradas (FCC). Devido à simetria, tomamos apenas a camada da interface para formar a geometria da superfície como mostrado na Fig. 1, e o bloco elástico abaixo da superfície plana é simulado pela função de Green.

Método de Reconhecimento de Aglomerados de Contato

Três escalas são observadas na interface como visto na Fig. 1: (1) escala atômica, simulada pelo potencial LJ; (2) escala de aspereza, que é o efeito de grupo dos átomos de contato; e (3) escala macroscópica, que é o efeito de grupo dos aglomerados de contato. O tamanho, forma, localização e distribuição dos aglomerados de contato são a ponte crítica entre o comportamento molecular e as propriedades da interface. Na nanoescala, a região de contato atômica é difícil de definir [6]. Definimos aqui um átomo de contato por sua componente de força normal fz > 0. Subsequentemente, os átomos de contato conectados são definidos como um aglomerado de contato. A técnica de rotulagem [29, 30] é usada para buscar o aglomerado de contato. Usamos aqui um algoritmo modificado para aceleração, que evita o processo de busca recursiva. O fluxograma do algoritmo é mostrado na Fig. 2, onde dados de força atômica são extraídos da simulação de dinâmica molecular de função de Green. O algoritmo é dividido em oito passos-chave:

1. Iniciar a busca por linha e obter os dados do novo átomo, ou seja, buscar os átomos de linha em linha.
2. Determinar se o átomo está em contato. Se não estiver, voltar ao passo 1. Se estiver, avançar para o próximo passo.
3. Comparar o átomo atual com o átomo anterior na mesma linha. Se o átomo anterior também estiver em contato, fundir o átomo no aglomerado ao qual o átomo anterior pertence, então rotular o átomo com o mesmo número do átomo anterior. Se o átomo anterior não estiver em contato, rotular o átomo com um novo número que é o número anterior mais um.
4. Determinar se é o último átomo; se não, voltar ao passo 1, ou ir para o processo de busca por coluna.
5. Iniciar a busca por coluna e obter os dados do novo átomo, ou seja, buscar os átomos de coluna em coluna.
6. Determinar se o átomo está em contato. Se não estiver, voltar ao passo 5. Se estiver, avançar para o próximo passo.
7. Comparar o átomo atual com o átomo anterior na mesma coluna. Se o átomo anterior também estiver em contato e pertencer a um aglomerado diferente, fundir o aglomerado atual no aglomerado ao qual o átomo anterior pertence, então rotular os átomos com o mesmo número e armazená-los. Se o átomo anterior não estiver em contato ou pertencer ao mesmo aglomerado, avançar para o próximo passo.
8. Determinar se o átomo atual é o último; se não, voltar ao passo 5, ou o processo de busca termina.

Desenho Experimental Numérico

É bem conhecido que o problema de contato de duas superfícies rugosas pode ser simplificado como um problema com uma superfície rugosa rígida composta e uma superfície elástica plana pela introdução do módulo elástico equivalente E*, que é escrito como

$$ \frac{1}{E^{\ast }}=\frac{1-{v}_1^2}{E_1}+\frac{1-{v}_2^2}{E_2} \tag{5} $$

onde E₁ e E₂ são o módulo elástico da superfície superior e inferior, respectivamente. Para simplicidade, consideramos uma superfície rugosa rígida em contato com uma superfície lisa elástica e então estudamos a formação e desenvolvimento do aglomerado de contato e seu comportamento força-área. Na discussão seguinte, usaremos a superfície gerada acima (a superfície superior é rígida e rugosa (E₁ = ∞), e a inferior é lisa e elástica (E₂ = 3ε/σ³)) para estudar o comportamento de contato, onde tanto v₁ quanto v₂ são definidos como 0,5. Nosso tamanho de sistema é 512 × 512 átomos (com espaçamento inicial igual a 1,12σ), e condições de contorno periódicas são usadas no plano x-y. A profundidade do bloco elástico é definida como 1024 camadas atômicas (com espaçamento inicial igual a 1,12σ). Em uma simulação regular de dinâmica molecular, o sistema seria composto por 268.697.600 átomos; o modelo GFMD reduz o número para 524.288 (duas camadas de átomos), como visto na Fig. 1. Empurramos gradualmente a superfície rugosa (no topo) para dentro da superfície elástica plana. O carregamento da superfície rígida é controlado pelo deslocamento. Cada passo de carregamento de deslocamento é definido como 0,01σ, e o algoritmo GFMD atualizará a posição de cada átomo até que a força atômica atenda ao critério de convergência L¹-norma = 0,01ε/σ. O número máximo de iterações é definido como 50.000 para evitar loop infinito.

Resultados e Discussão

Distribuição e Desenvolvimento dos Aglomerados de Contato

O modelo de asperezas considera a aspereza como esférica ou elíptica e não considera a interação entre as asperezas de contato. Neste trabalho, as asperezas usadas no modelo de asperezas são extraídas da superfície gerada acima. No modelo de asperezas, as asperezas de contato potenciais podem ser determinadas pela geometria da superfície antecipadamente baseando-se em suas alturas; ou seja, os picos/vales da superfície formarão aglomerados de contato de acordo com suas alturas. No entanto, na realidade, a aspereza tem forma irregular, e geralmente várias asperezas adjacentes podem se fundir em uma grande, como mostrado na Fig. 3. Observa-se que existem seis asperezas independentes no início, e à medida que a força de contato aumenta, elas finalmente se fundem em um grande aglomerado de contato (Fig. 3). Isso sugere que a suposição de que a distância inter-aspereza é suficiente para que as asperezas não se afetem pode levar a resultados imprecisos.

A Figura 4 demonstra que o número de aglomerados primeiro aumenta e depois diminui à medida que a área de contato aumenta, enquanto a aspereza da superfície sempre aumenta com o aumento da área de contato. Isso se deve ao efeito de fusão explicado na Fig. 3.

O efeito de fusão de aglomerados de contato foi observado tanto no modelo de asperezas quanto no modelo GFMD. No entanto, com a mesma área de contato, o número de aglomerados de contato no modelo GFMD é muito maior que o do modelo de asperezas, como visto na Fig. 5. Observa-se que o número de aglomerados de contato no modelo GFMD é quase o dobro do modelo de asperezas, como mostrado na Fig. 5. A principal razão para isso é que o modelo de asperezas não considera a interação inter-aspereza. No entanto, no modelo GFMD, os aglomerados de contato influenciam uns aos outros. Os campos de deslocamento gerados pelos aglomerados de contato são contínuos por toda a área da superfície. O deslocamento do grande conjunto de aglomerados resulta em uma nova geometria na superfície elástica, que afeta a formação de novos aglomerados de contato. Portanto, a formação do aglomerado de contato não apenas se baseia na altura da superfície rugosa rígida, mas também pode ser influenciada por deformações na superfície elástica lisa. Isso também pode ser observado na Fig. 6, que mostra a distribuição do aglomerado de contato em diferentes áreas para o modelo de asperezas e modelo GFMD, respectivamente. Como mostrado na Fig. 6, em uma área de contato de 5%, os números de aglomerados de contato são 17 e 34 para o modelo de asperezas e modelo GFMD, respectivamente, enquanto em uma área de contato de 10%, seus números de aglomerados de contato tornam-se 24 e 52, respectivamente. Isso sugere que os aglomerados de contato no modelo GFMD são mais discretos que os do modelo de asperezas. No modelo GFMD, o tamanho médio do aglomerado é menor, mas a maioria dos aglomerados coincidirá com os picos/vales, como pode ser observado na Fig. 7. Além disso, o modelo de asperezas considera ou os vales ou os picos como asperezas potenciais (dependendo de qual lado está em contato). No entanto, na Fig. 8, descobrimos que à medida que a área de contato aumenta, tanto os picos quanto os vales podem estar em contato. Na Fig. 8, a maioria das asperezas em contato são os vales da superfície quando a área de contato é pequena. No entanto, quando a área de contato é maior que 10% da área da superfície, cada vez mais picos também podem formar aglomerados de contato.

Relação Área de Contato-Carga

A relação força-área sob carga normal é essencial para o comportamento de contato. Nos modelos anteriores, as asperezas são geralmente consideradas esféricas e elípticas. No entanto, os aglomerados de contato reais são muito mais complexos. Nesta seção, comparamos a relação força-área de contato de três modelos: (1) o modelo GFMD; (2) o modelo de asperezas (marcado como AM), no qual a aspereza é extraída diretamente da superfície antes de usarmos GFMD para empurrar essas asperezas na superfície elástica plana (isso garante que não haja formação inesperada de aglomerado de contato durante o contato); e (3) o modelo Greenwood-Williamson (marcado como G-W), no qual a aspereza é convertida em esfera equivalente. O raio da esfera é obtido por

$$ \frac{1}{R}=\frac{8}{3}{\left(\frac{m_4}{\pi}\right)}^{1/2} \tag{6} $$

Para o modelo GFMD e o modelo de asperezas com asperezas extraídas exatamente da superfície, as forças totais na interface podem ser obtidas somando as forças de cada aglomerado de contato extraídas do GFMD. Para o modelo Greenwood-Williamson, usamos a teoria de Hertz para cada força de aspereza (com a mesma propriedade de material usada no modelo GFMD), o que significa que a força total F pode ser expressa como

$$ F=\sum_{i=1}^n{f}_i=\sum_{i=1}^{\mathrm{N}}\frac{4}{3}{E}^{\ast }{R}^{1/2}{\left(d-{z}_i\right)}^{3/2} \tag{7} $$

onde Z_i é a altura da aspereza, d é o deslocamento aplicado na superfície rígida, e f é a força de contato da aspereza baseada na teoria de contato de Hertz.

Na Fig. 9, comparamos as relações força-área dos três modelos, que exibem relações lineares. Observa-se que a força total no GFMD é muito menor que a do modelo de asperezas e do modelo G-W. F no modelo de asperezas é 1,80 vezes a prevista pelo GFMD, e F no modelo G-W é 1,54 vezes a prevista pelo GFMD. Isso pode ser explicado pela inclinação RMS dos aglomerados de contato. Sabe-se que a carga normal é proporcional à inclinação RMS, ou seja, L ∝ √M₂. No modelo GFMD, a área de contato é composta por um maior número de aglomerados, cujas penetrações são mais rasas que as do modelo de asperezas. Como a inclinação da ponta da aspereza é menor, a inclinação RMS para o aglomerado de contato no modelo GFMD também é menor. A Figura 10 mostra as inclinações RMS dos aglomerados de contato para os três modelos. Pode-se ver que a inclinação RMS dos aglomerados de contato no GFMD é menor que a inclinação RMS da superfície de 0,077, enquanto ambos os outros dois modelos têm inclinações RMS dos aglomerados de contato maiores que a da superfície.

Conclusões

Para encontrar a evolução da área de contato da escala atômica à macroscópica, o problema de contato de superfície rugosa fractal foi estudado usando o modelo GFMD. Definimos o contato atômico pela existência de uma força maior que zero e estudamos três diferentes escalas de comprimento no mesmo sistema. Descobriu-se que a interação inter-aspereza é essencial para a formação de um aglomerado de contato. Alguns aglomerados estão próximos o suficiente para se fundirem em um grande. A região de contato real é muito mais complexa que a prevista pela geometria da superfície devido à deformação elástica na superfície elástica lisa. A maioria das localizações dos aglomerados de contato coincide com os picos/vales da superfície. No entanto, o tamanho do aglomerado é menor, e sua formação não é determinada pelas alturas das asperezas da superfície. À medida que a área de contato aumenta, tanto picos quanto vales podem formar aglomerados de contato. No modelo GFMD, a força é muito menor que a do modelo de asperezas, enquanto o número de aglomerados de contato no modelo GFMD é muito maior. A inclinação RMS dos aglomerados de contato no modelo GFMD é menor que a do modelo de asperezas, o que explica por que o modelo de asperezas leva a maior pressão. Nossas descobertas sugerem que a área de contato real não pode ser prevista simplesmente pela geometria da superfície. A área de contato real com a carga normal é de importância para a pesquisa subsequente sobre atrito.