Controle de não linearidade dupla de propriedades de modo e dispersão em grafeno-dielétrico Plasmonic Waveguide

Resumo

Nós estudamos o modo e as propriedades de dispersão do guia de onda plasmônico não linear grafeno-dielétrico considerando a não linearidade dupla do dielétrico e do grafeno. Para a polarização TM, a distribuição de modo, a distribuição de permissividade e a relação de dispersão foram obtidas resolvendo numericamente as equações de Maxwell. Comparado com o caso considerando apenas a não linearidade do dielétrico, a intensidade do campo inicial para excitar os modos de plasmon reduz obviamente ao introduzir a não linearidade dupla. Além disso, a influência da não linearidade dupla na relação de dispersão é discutida, e descobrimos que a não linearidade do grafeno afeta fortemente as propriedades de dispersão. A introdução da não linearidade dupla leva à diminuição da intensidade do campo inicial, que tem potencial aplicação em chaves totalmente ópticas com baixo limiar.

Histórico

Os grafenos plasmônicos têm atraído ampla atenção [1,2,3,4] devido às características eletrônicas e ópticas exclusivas do grafeno em comparação com os metais. Na faixa de frequência THz e infravermelho distante, a transição intrabanda de elétrons domina e o grafeno se comporta como um metal. Portanto, os polaritons do plasmon de superfície (SPPs) poderiam ser suportados pelo grafeno. Para a estrutura composta de multicamadas de grafeno-dielétrico, os modos de excitação, acoplamento e propagação de SPPs foram investigados. O modo eletromagnético quase transversal foi encontrado em um guia de onda de placa paralela de grafeno [5]. O acoplamento de SPPs foi estudado [6, 7] em uma estrutura multicamada de grafeno-dielétrico. Para a estrutura de matriz periódica de folha de grafeno em monocamada, o forte acoplamento entre os SPPs emerge quando as folhas de grafeno são organizadas firmemente.

Esforços consideráveis têm sido dedicados à investigação das propriedades ópticas de estruturas compostas não lineares de grafeno-dielétrico [8,9,10,11,12] por seu grande potencial no controle da propagação da luz em micro e nanoescalas. Para o caso do grafeno de camada única, os plasmons de superfície na interface entre o grafeno e o substrato não linear do tipo kerr foram discutidos [8]. É mostrado que o comprimento de onda dos plasmons de grafeno pode ser ajustado ajustando a permissividade não linear dos substratos. Para a estrutura dielétrica dielétrica não linear de grafeno, as propriedades de propagação e localização de plasmons de grafeno foram exploradas, e as relações de dispersão exatas para plasmons de superfície TM de um guia de onda de placa paralela de grafeno foram obtidas [11]. O comprimento de propagação e localização são notavelmente afetados pelo ajuste de permissividades não lineares. Recentemente, a relação de dispersão para os modos de plasmon simétrico e antissimétrico foi derivada em uma estrutura de placa de kerr revestida com grafeno [12]. Exceto para o modo de propagação para frente típico, os modos simétrico e anti-simétrico foram encontrados.

Com base na forte não linearidade do grafeno, vários efeitos ópticos não lineares foram previstos [13,14,15,16,17]. Nesterov et al. [15] estudaram a propagação não linear da luz em uma monocamada de grafeno e descobriram que a monocamada de grafeno pode suportar os solitons ópticos espaciais TE e TM em frequências ópticas devido à não linearidade intrínseca do grafeno. Mais recentemente, substituindo o grafeno de monocamada por grafeno de múltiplas camadas, Smirnova et al. [16] investigaram as propriedades não lineares de uma pilha multicamada de folhas de grafeno e derivaram as equações não lineares que descrevem a dinâmica espacial dos plasmons não lineares. Os estudos anteriores focaram principalmente na influência da não linearidade única no controle das propriedades da luz em estruturas grafeno-dielétricas. A ideia de controle de não linearidade dual foi introduzida nas superredes fotônicas baseadas em grafeno [18, 19], nas quais o controle elétrico e totalmente óptico de feixes fotônicos com precisão de comprimento de onda profundo foi alcançado. No entanto, o controle duplo de não linearidade das propriedades de modo e dispersão na estrutura grafeno-dielétrica plasmônica ainda deixa muitas questões em aberto. Portanto, neste artigo, consideramos a não linearidade do grafeno e do dielétrico simultaneamente no guia de onda grafeno-dielétrico-grafeno e estudamos a influência da não linearidade dupla nos modos de acoplamento e propriedades de dispersão.

Métodos

O guia de onda dielétrico não linear de grafeno é esquematicamente ilustrado na Fig. 1, uma placa paralela de grafeno com uma condutividade σ _g é colocado em x =± d / 2, onde o dielétrico é um meio do tipo kerr com uma permissividade ε = ε _L + α | E | ² . Em nossa análise, o grafeno é tratado como uma fronteira devido à sua espessura na escala de um átomo. Considerando um SPPs transverso-magnético (TM) que se propagam ao longo de z direção com uma constante de propagação β e decai exponencialmente ao longo do x direção no ar e meio não linear, respectivamente.

Diagrama esquemático do guia de onda não linear de grafeno-dielétrico-grafeno plasmônico

Para a polarização TM, sabemos que existem três componentes de campo E _x , E _z , e H _y . O campo magnético H = H _y a e campo elétrico E = E _x x + E _z z satisfaça as equações
$$ \ frac {d {E} _z} {dx} =i \ omega {\ mu} _0 {H} _y + i \ beta {E} _x $$ (1) $$ i \ beta {H} _y =- i \ omega {\ varepsilon} _0 \ varejpsilon {E} _x $$ (2) $$ \ frac {d {H} _y} {dx} =i \ omega {\ varepsilon} _0 \ varepsilon {E} _z $$ (3)
onde ε ₀ e μ ₀ são a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética do vácuo. Da Eq. (2) e ε = ε _L + α | E | ² podemos pegar
$$ {\ varepsilon} ^ 2 {E} _x ^ 2 =\ frac {\ beta ^ 2} {\ omega ^ 2 {\ varejpsilon} _0 ^ 2} {H} _y ^ 2 $$ (4) $$ { E} _x ^ 2 =\ left (\ varepsilon - {\ varepsilon} _L- \ alpha {E} _z ^ 2 \ right) / \ alpha $$ (5)
Substituindo a Eq. (5) na Eq. (4) nós temos
$$ {\ varejpsilon} ^ 3- \ left ({\ varepsilon} _L + \ alpha {E} _z ^ 2 \ right) {\ varepsilon} ^ 2- \ frac {\ alpha {\ beta} ^ 2} {\ omega ^ 2 {\ varepsilon} _0 ^ 2} {H} _y ^ 2 =0 $$ (6)
Para equação cúbica [20, 21]
$$ {x} ^ 3 + b {x} ^ 2 + c x + d =0 $$ (7)
O discriminante da Eq. (7) é
$$ \ varDelta ={b} ^ 2 {c} ^ 2-4 {c} ^ 3-4 {b} ^ 3 d + 18 b c d-27 {d} ^ 2 $$ (8)
Configuração \ (b =- \ left ({\ varepsilon} _L + \ alpha {E} _z ^ 2 \ right), \ kern0.5em c =0 \), e \ (d =- \ alpha {\ beta} ^ 2 {H} _y ^ 2 / \ left ({\ omega} ^ 2 {\ varepsilon} _0 ^ 2 \ right) \), é fácil demonstrar que o discriminante da Eq. (6) atende
$$ \ varDelta =- {\ left ({\ varepsilon} _L + \ alpha {E} _z ^ 2 \ right)} ^ 3 \ frac {\ alpha {\ beta} ^ 2} {\ omega ^ 2 {\ varejpsilon} _0 ^ 2} {H} _y ^ 2-27 \ frac {\ alpha ^ 2 {\ beta} ^ 4} {\ omega ^ 4 {\ varepsilon} _0 ^ 4} {H} _y ^ 4 <0 $$ ( 9)
Δ <0 significa que a Eq. (6) tem apenas uma solução real. A partir do método de Cardano [20], sabemos que para a equação cúbica Eq. (7) sua verdadeira raiz é
$$ x =- \ frac {b} {3} + \ sqrt [3] {- \ frac {q} {2} + \ sqrt {{\ left (\ frac {p} {3} \ right)} ^ 3 + {\ left (\ frac {q} {2} \ right)} ^ 2}} + \ sqrt [3] {- \ frac {q} {2} - \ sqrt {{\ left (\ frac {p } {3} \ right)} ^ 3 + {\ left (\ frac {q} {2} \ right)} ^ 2}} $$ (10)
onde p = c - b ² / 3, q = d - bc / 3 + 2 b ³ / 27. Usando a Eq. (10) podemos obter o ε . Substituindo o ε na Eq. (2) e (3) pela solução real, as equações diferenciais ordinárias podem ser resolvidas numericamente por um método de relaxação.

Resultados e discussões

Dos requisitos de continuidade de E _z e H _y , as condições de contorno em x =± d / 2 satisfazer E _{1 z} = E _{2 z} e H _{2 y} - H _{1 y} = σ _g E _z . A condutividade da superfície do grafeno σ _g é governado pela fórmula de Kubo [22], incluindo as contribuições de transição interbanda e intrabanda. Na faixa de frequência THz e infravermelho distante, a contribuição de transição intrabanda domina e a condutividade da superfície pode ser simplificada para um tipo simples de Drude como [23]
$$ {\ sigma} _g =\ frac {e ^ 2 {\ mu} _c} {\ pi {\ hslash} ^ 2} \ frac {\ mathrm {i}} {\ omega + \ mathrm {i} {\ tau} ^ {- 1}} $$ (11)
onde e é a carga do elétron, μ _c é o potencial químico do grafeno, ω é a frequência e τ é o tempo de relaxamento do momentum. Este modelo é aplicável no limite de baixa temperatura ( k _B T << μ _c ) em baixa frequência ( ℏω ≤ μ _c ) Para a condição de campo forte, a parte não linear da condutividade deve ser considerada e a condutividade total do grafeno é lida [16]
$$ {\ sigma} _g ={\ sigma} _L + {\ sigma} ^ {NL} {\ left | {E} _ {\ tau} \ right |} ^ 2 $$ (12)
onde E _τ é a componente tangencial do campo elétrico e σ ^NL denota condutividade não linear [16]
$$ {\ sigma} ^ {NL} =- i \ frac {3} {8} \ frac {e ^ 2} {\ pi {\ hslash} ^ 2} {\ left (\ frac {e {\ nu} _F} {\ mu_c \ omega} \ right)} ^ 2 \ frac {\ mu_c} {\ omega} $$ (13)
onde ν _F =0,95 × 10 ⁸ cm / s é a velocidade de Fermi.

Para o grafeno, apenas na faixa de frequência THz e infravermelho distante sua condutividade de superfície pode ser simplificada para um tipo Drude simples; portanto, escolhemos o comprimento de onda incidente como λ =10 μm . Outros parâmetros são fixados nos valores ε ₁ =1, ε _L =2,25, α =5 × 10 ^{- 16} (m / v) ² [24] E _F =0,27 ev, τ =1,5 ps. É bem conhecido que existem dois modos nas estruturas lineares grafeno-dielétrico-grafeno, que são os modos simétrico e antissimétrico, respectivamente. A seguir, discutiremos a influência da não linearidade na distribuição de modos nas estruturas compostas grafenodielétricas.

Configuração H ₀ como o componente do campo magnético inicial na interface do incidente, resolvendo as Eqs. (1, 2 e 3) numericamente, a dependência da intensidade do campo magnético inicial H ₀ na constante de propagação β é dado na Fig. 2. A constante de propagação normalizada \ ({k} _F =\ sqrt {\ uppi n} \) está em unidades de momento de Fermi [25], onde n =6 × 10 ¹² cm ^{- 2} é a densidade do portador. As curvas sólidas representam o caso em que apenas a não linearidade do dielétrico é considerada, enquanto as curvas tracejadas denotam o caso em que a não linearidade do dielétrico e do grafeno são consideradas simultaneamente. Na Fig. 2, descobrimos que as propriedades dos modos para ambos os casos são as mesmas. Existem três ramificações, o que significa que o guia de ondas plasmônico não linear pode suportar três modos. No entanto, em comparação com o caso de não linearidade única, a intensidade do campo inicial reduziu aparentemente para o caso de não linearidade dupla. Embora o guia de onda plasmônico não linear de grafeno possa suportar três modos, é impossível distinguir qual ramificação denota o modo simétrico, antissimétrico ou assimétrico. A fim de determinar as propriedades de modo de cada ramo, traçamos o campo elétrico e a distribuição do campo magnético associado a A, B, C e D na Fig. 3, respectivamente.

A intensidade magnética inicial versus a constante de propagação. Para as curvas sólidas : α =5 × 10 ^{- 16} ( m / v ) ² , σ ^NL =0; para as curvas tracejadas : α =5 × 10 ^{- 16} ( m / v ) ² , σ ^NL =2,19 × 10 ^{- 20} i, a linha sólida preta horizontal é uma linha auxiliar

A permissividade e distribuição de modos para o componente magnético H _y e componente elétrico E _z . a e b corresponde ao ponto A ( H ₀ =300, β =6,94 × 10 ^{- 2} k _F ) marcado na Fig. 2 para modos simétricos, c e d corresponde ao ponto B ( H ₀ =300, β =7,81 × 10 ^{- 2} k _F ) marcado na Fig.2 para modos anti-simétricos, e e f corresponde ao ponto C ( H ₀ =300, β =8,36 × 10 ^{- 2} k _F ) marcado na Fig. 2 para modos assimétricos, e g e h correspondem ao ponto D ( H ₀ =700, β =8,07 × 10 ^{- 2} k _F )

Para o ramo da curva tracejada preta, a permissividade correspondente e os campos associados com A são plotados na Fig. 3a, b, em que a distribuição da permissividade e do campo elétrico E _z é simétrico. Portanto, esta ramificação representa o modo simétrico. Para o ramo da curva tracejada vermelha, a permissividade e os campos associados com B são dados na Fig. 3c, d. A distribuição da permissividade ainda é simétrica; no entanto, a distribuição do campo elétrico E _z é anti-simétrico, o que implica que este ramo é um modo anti-simétrico. A distribuição de permissividade e campo associado com C e D são plotados na Fig. 3e-h. Observa-se que a distribuição do campo magnético correspondente e do campo elétrico associado a C e D é assimétrica; portanto, o ramo da curva tracejada azul representa o modo assimétrico. Enquanto isso, a distribuição assimétrica do campo elétrico leva à distribuição assimétrica da permissividade.

A seguir, voltamos nossa atenção para discutir a influência da não linearidade do dielétrico e do grafeno na relação de dispersão. A Figura 4 mostra a relação de dispersão para um campo magnético inicial fixo ( H ₀ =300 A / m) e diferentes potenciais químicos e coeficientes não lineares do dielétrico. Na Fig. 4a-c, a influência do coeficiente não linear do dielétrico na relação de dispersão é mostrada, onde apenas a não linearidade do dielétrico é considerada. Quando o coeficiente não linear e a condutividade não linear são iguais a zero ( α =0, σ ^NL =0), a estrutura não linear degenera em uma estrutura linear. Na Fig. 4a, para o caso linear, existem apenas os modos simétrico e anti-simétrico. A curva sólida preta e a curva sólida vermelha representam os modos simétrico e anti-simétrico, respectivamente. Quando o coeficiente não linear é diferente de zero, um modo assimétrico como o ramo III mostrado na Fig. 4b, c aparece na estrutura. À medida que o coeficiente não linear aumenta ainda mais, a influência do coeficiente nas propriedades de dispersão torna-se fraca.

A relação de dispersão para uma intensidade magnética inicial fixa ( H ₀ =300 A / m) e para vários coeficientes não lineares ( a - c ) e para vários potenciais químicos ( d - f ) a α =0, μ _c =0,27eV, σ _NL =0, b α =5 × 10 ^{- 17} (m / V) ² , μ _c =0,27eV, σ _NL =0, c α =5 × 10 ^{- 16} (m / V) ² , μ _c =0,27eV, σ _NL =0, d μ _c =0,27eV, α =5 × 10 ^{- 16} (m / V) ² , ( e ) μ _c =0,16eV, α =5 × 10 ^{- 16} (m / V) ² , e f μ _c =0,10eV, α =5 × 10 ^{- 16} (m / V) ²

A seguir, introduzimos simultaneamente a não linearidade do dielétrico e do grafeno, e discutimos a influência da não linearidade do grafeno na relação de dispersão com um coeficiente de dielétrico não linear fixo α =5 × 10 ^{- 16} (m / V) ² . Os resultados são mostrados na Fig. 4d-f. Comparando a Fig. 4d com a Fig. 4c, nota-se que o fenômeno de fold-back da relação de dispersão aparece em todos os três ramos. Da Eq. (13), sabemos que a não linearidade do grafeno pode ser controlada ajustando o potencial químico. À medida que a não linearidade do grafeno aumenta ainda mais de μ _c =0,27 eV a μ _c =0,16 eV, como mostrado na Fig. 4e, o ponto de retrocesso da relação de dispersão move-se para cima. Para uma maior não linearidade do grafeno (com pequeno potencial químico μ _c =0,10eV), como mostrado na Fig. 4f, apenas o modo simétrico aparece e forma um loop fechado. Pela Fig. 4, sabemos que considerando apenas a não linearidade do dielétrico, a relação de dispersão mostra três ramos que são quase imutáveis à medida que o coeficiente não linear do dielétrico aumenta. No entanto, quando introduzimos ainda a não linearidade do grafeno, o fenômeno de retrocesso da relação de dispersão aparece. Para o campo magnético inicial especificado H ₀ e potencial químico a relação de dispersão mostra apenas um modo simétrico com um loop fechado.

Conclusões

Em resumo, investigamos o modo e as propriedades de dispersão do guia de onda plasmônico não linear grafeno-dielétrico. A distribuição de modo, permissividade e relações de dispersão foram obtidas resolvendo numericamente a equação de Maxwell para a polarização TM. Comparado com o caso considerando apenas a não linearidade do dielétrico, a intensidade do campo inicial reduziu aparentemente ao considerar a não linearidade do dielétrico e do grafeno simultaneamente. Além disso, a não linearidade dupla afeta significativamente as propriedades de dispersão do guia de ondas. Especialmente, conforme aumenta a não linearidade do grafeno, os modos anti-simétricos e assimétricos se fundem em um e desaparecem gradualmente. Portanto, apenas o modo simétrico pode ser encontrado no caso de não linearidade forte.

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