Controle de Modo e Dispersão em Guias de Onda Plasmonicas de Grafeno-Dielétrico via Dupla Não-Linearidade

Resumo

Estudamos as propriedades de modo e dispersão de guia de onda plasmonico não-linear grafeno-dielétrico considerando a dupla não-linearidade do dielétrico e do grafeno. Para polarização TM, a distribuição de modo, distribuição de permissividade e relação de dispersão foram obtidas resolvendo numericamente as equações de Maxwell. Comparado ao caso considerando apenas a não-linearidade do dielétrico, a intensidade de campo inicial para excitar modos plasmonicos reduz-se obviamente ao introduzir a dupla não-linearidade. Além disso, discute-se a influência da dupla não-linearidade na relação de dispersão, constatando que a não-linearidade do grafeno afeta fortemente as propriedades de dispersão. A introdução da dupla não-linearidade leva à diminuição da intensidade de campo inicial, com potencial aplicação em chaves totalmente ópticas com baixo limiar.

Fundamentação

A plasmonica de grafeno atraiu ampla atenção devido às características eletrônicas e ópticas únicas do grafeno comparado a metais. Na faixa de frequência THz e infravermelho longo, a transição intrabanda de elétrons domina e o grafeno comporta-se como um metal. Portanto, polaritons de plasmon de superfície (SPPs) podem ser suportados pelo grafeno. Para a estrutura composta multicamada grafeno-dielétrico, a excitação, acoplamento e propagação de SPPs foram investigados. O modo quase-transversalmente eletromagnético foi encontrado em guia de onda de placas paralelas de grafeno. O acoplamento de SPPs foi estudado em estrutura multicamada grafeno-dielétrico. Para a estrutura de array periódico de monocamada de grafeno, forte acoplamento entre SPPs emerge quando as folhas de grafeno são dispostas próximas.

Esforços consideráveis foram dedicados a investigar propriedades ópticas de estruturas compostas não-lineares grafeno-dielétrico pelo seu grande potencial no controle de propagação de luz em micro e nanoescalas. Para o caso de monocamada de grafeno, plasmons de superfície na interface entre grafeno e substrato não-linear tipo Kerr foram discutidos. Mostra-se que o comprimento de onda de plasmons de grafeno pode ser ajustado ajustando a permissividade não-linear dos substratos. Para estrutura multicamada grafeno-dielétrico não-linear, as propriedades de propagação e localização de plasmons de grafeno foram exploradas, e relações de dispersão exatas para plasmons de superfície TM de guia de onda de placas paralelas de grafeno foram obtidas. O comprimento de propagação e localização são notavelmente afetados ajustando permissividades não-lineares. Recentemente, a relação de dispersão para modos plasmonicos simétricos e anti-simétricos foi derivada em estrutura de placa Kerr revestida de grafeno. Exceto pelo modo de propagação para frente típico, modos simétricos e anti-simétricos foram encontrados.

Baseado na forte não-linearidade do grafeno, vários efeitos ópticos não-lineares foram previstos. Nesterov et al. estudaram a propagação não-linear de luz em monocamada de grafeno, e descobriram que monocamada de grafeno pode suportar solitons ópticos espaciais TE e TM em frequências ópticas devido à não-linearidade intrínseca do grafeno. Mais recentemente, substituindo monocamada de grafeno por grafeno multicamada, Smirnova et al. investigaram propriedades não-lineares de uma pilha multicamada de folhas de grafeno, e derivaram equações não-lineares descrevendo dinâmica espacial de plasmons não-lineares. Estudos anteriores focaram principalmente na influência de não-linearidade única no controle de propriedades de luz em estruturas grafeno-dielétrico. A ideia de controle de dupla não-linearidade foi introduzida em super-redes fotônicas baseadas em grafeno, nas quais controle elétrico e totalmente óptico de feixes fotônicos com precisão sub-comprimento de onda profundo foi alcançado. No entanto, o controle de dupla não-linearidade de propriedades de modo e dispersão em estrutura plasmonica grafeno-dielétrico ainda deixa muitas questões em aberto. Portanto, neste artigo consideramos simultaneamente a não-linearidade do grafeno e do dielétrico no guia de onda grafeno-dielétrico-grafeno, e estudamos a influência da dupla não-linearidade no acoplamento de modos e propriedades de dispersão.

Métodos

O guia de onda plasmonico grafeno-dielétrico não-linear é esquematicamente ilustrado na Fig. 1, uma placa paralela de grafeno com condutividade σ_g é colocada em x = ± d/2, onde o dielétrico é um meio tipo Kerr com permissividade ε = ε_L + α|E|². Em nossa análise, o grafeno é tratado como uma fronteira devido à sua espessura na escala de um átomo. Considerando SPPs de polarização magnética transversal (TM) que se propagam na direção z com constante de propagação β e decaem exponencialmente na direção x para o ar e meio não-linear, respectivamente.

Para polarização TM, sabemos que existem três componentes de campo E_x, E_z, e H_y. O campo magnético H = H_y y e campo elétrico E = E_x x + E_z z satisfazem as equações:

dE_z/dx = iωμ₀H_y + iβE_x (1)

iβH_y = -iωε₀εE_x (2)

dH_y/dx = iωε₀εE_z (3)

onde ε₀ e μ₀ são a permissividade elétrica e permeabilidade magnética do vácuo. Da Eq. (2) e ε = ε_L + α|E|² obtemos:

ε²E_x² = β²/(ω²ε₀²)H_y² (4)

E_x² = (ε - ε_L - αE_z²)/α (5)

Substituindo Eq. (5) na Eq. (4) temos:

ε³ - (ε_L + αE_z²)ε² - αβ²/(ω²ε₀²)H_y² = 0 (6)

Para equação cúbica, o discriminante Δ < 0 significa que a Eq. (6) tem apenas uma solução real. Usando o método de Cardano, obtemos ε. Substituindo ε nas Eqs. (2) e (3) pela solução real, as equações diferenciais ordinárias podem ser resolvidas numericamente por um método de relaxação.

Resultados e Discussões

Dos requisitos de continuidade de E_z e H_y, as condições de contorno em x = ± d/2 satisfazem E_1z = E_2z e H_2y - H_1y = σ_g E_z. A condutividade de superfície do grafeno σ_g é governada pela fórmula de Kubo incluindo contribuições de transição interbanda e intrabanda. Na faixa de frequência THz e infravermelho longo, a contribuição intrabanda domina e a condutividade de superfície pode ser simplificada para um tipo Drude simples.

Para a condição de campo forte, a parte não-linear da condutividade deve ser considerada e a condutividade total do grafeno é σ_g = σ_L + σ^NL|E_τ|², onde E_τ é o componente tangencial do campo elétrico e σ^NL denota condutividade não-linear.

Para o grafeno, apenas na faixa THz e infravermelho longo sua condutividade de superfície pode ser simplificada para tipo Drude simples; portanto, escolhemos comprimento de onda incidente λ = 10 μm. Outros parâmetros são fixados: ε₁ = 1, ε_L = 2,25, α = 5×10⁻¹⁶ (m/V)², E_F = 0,27 eV, τ = 1,5 ps. É bem conhecido que existem dois modos em estruturas lineares grafeno-dielétrico-grafeno: modos simétrico e anti-simétrico. Discutiremos a influência da não-linearidade na distribuição de modos em estruturas compostas grafeno-dielétrico.

Definindo H₀ como componente inicial do campo magnético na interface de incidência, resolvendo Eqs. (1, 2, 3) numericamente, a dependência da intensidade inicial do campo magnético H₀ na constante de propagação β é dada na Fig. 2. A constante de propagação normalizada k_F = √(πn) está em unidades de momento de Fermi, onde n = 6×10¹² cm⁻² é densidade de portadores. Curvas sólidas representam o caso considerando apenas não-linearidade do dielétrico, enquanto curvas tracejadas denotam o caso considerando não-linearidade do dielétrico e grafeno simultaneamente. Verifica-se que as propriedades de modo para ambos casos são as mesmas: existem três ramos, significando que o guia de onda plasmonico não-linear pode suportar três modos. No entanto, comparado ao caso de não-linearidade única, a intensidade de campo inicial reduziu aparentemente para o caso de dupla não-linearidade.

Para o ramo da curva tracejada preta, a permissividade e campos associados a A são plotados na Fig. 3a, b, onde a distribuição de permissividade e campo elétrico E_z é simétrica. Portanto, este ramo representa modo simétrico. Para o ramo da curva tracejada vermelha, a permissividade e campos associados a B são dados na Fig. 3c, d. Distribuição de permissividade ainda é simétrica; porém, distribuição de campo elétrico E_z é anti-simétrica, implicando que este ramo é modo anti-simétrico. A distribuição de permissividade e campos associados a C e D são plotados na Fig. 3e-h. Nota-se que a distribuição correspondente de campo magnético e elétrico associados a C e D é assimétrica; portanto, o ramo da curva tracejada azul representa modo assimétrico. Simultaneamente, a distribuição assimétrica do campo elétrico leva à distribuição assimétrica de permissividade.

Em seguida, voltamos atenção para discutir a influência da não-linearidade do dielétrico e grafeno na relação de dispersão. A Fig. 4 mostra a relação de dispersão para intensidade magnética inicial fixa (H₀ = 300 A/m) e diferentes potenciais químicos e coeficientes não-lineares do dielétrico. Na Fig. 4a-c, a influência do coeficiente não-linear do dielétrico na relação de dispersão é mostrada, considerando apenas não-linearidade do dielétrico. Quando ambos coeficiente não-linear e condutividade não-linear são zero (α = 0, σ^NL = 0), a estrutura não-linear degenera em estrutura linear. Na Fig. 4a, para o caso linear, apenas modos simétrico e anti-simétrico existem. A curva sólida preta e curva sólida vermelha representam modos simétrico e anti-simétrico, respectivamente. Quando o coeficiente não-linear é não-zero, um modo assimétrico como ramo III aparece na estrutura. À medida que o coeficiente não-linear aumenta mais, a influência do coeficiente nas propriedades de dispersão torna-se fraca.

No seguinte, introduzimos simultaneamente a não-linearidade do dielétrico e grafeno, e discutimos a influência da não-linearidade do grafeno na relação de dispersão com coeficiente não-linear do dielétrico fixo α = 5×10⁻¹⁶ (m/V)². Resultados mostrados na Fig. 4d-f. Comparando Fig. 4d com Fig. 4c, nota-se que o fenômeno de dobra para trás da relação de dispersão aparece em todos três ramos. Da Eq. (13), sabemos que a não-linearidade do grafeno pode ser controlada ajustando o potencial químico. À medida que a não-linearidade do grafeno aumenta de μ_c = 0,27 eV para μ_c = 0,16 eV, como mostrado na Fig. 4e, o ponto de dobra para trás da relação de dispersão move-se para cima. Para maior não-linearidade do grafeno (com menor potencial químico μ_c = 0,10 eV), como mostrado na Fig. 4f, apenas o modo simétrico aparece e forma um loop fechado. Da Fig. 4, sabemos que considerando apenas não-linearidade do dielétrico, a relação de dispersão mostra três ramos quase inalterados conforme o coeficiente não-linear do dielétrico aumenta. Porém, ao introduzir também a não-linearidade do grafeno, o fenômeno de dobra para trás aparece. Para intensidade magnética inicial H₀ e potencial químico especificados, a relação de dispersão mostra apenas modo simétrico com loop fechado.

Conclusões

Em resumo, investigamos propriedades de modo e dispersão de guia de onda plasmonico não-linear grafeno-dielétrico. Distribuição de modo, permissividade e relações de dispersão foram obtidas resolvendo numericamente equação de Maxwell para polarização TM. Comparado ao caso considerando apenas não-linearidade do dielétrico, a intensidade de campo inicial reduziu aparentemente ao considerar não-linearidade do dielétrico e grafeno simultaneamente. Além disso, a dupla não-linearidade afeta significativamente as propriedades de dispersão do guia de onda. Especialmente, à medida que a não-linearidade do grafeno aumenta, os modos anti-simétrico e assimétrico fundem-se em um e desaparecem gradualmente. Portanto, apenas o modo simétrico pode ser encontrado no caso de forte não-linearidade.