Mapas Karnaugh de 4 variáveis ​​maiores

Saber como gerar o código Gray deve nos permitir construir mapas maiores. Na verdade, tudo o que precisamos fazer é olhar para a sequência da esquerda para a direita no topo do mapa de 3 variáveis ​​e copiá-la para o lado esquerdo do mapa de 4 variáveis. Ver abaixo.

Reduções de 4 mapas de K variáveis ​​

Os quatro mapas de variáveis ​​de Karnaugh a seguir ilustram a redução das expressões booleanas entediantes demais para a álgebra booleana. As reduções podem ser feitas com álgebra booleana.

No entanto, o mapa de Karnaugh é mais rápido e fácil, especialmente se houver muitas reduções lógicas a serem feitas.







A expressão booleana acima possui sete termos de produto. Eles são mapeados de cima para baixo e da esquerda para a direita no K-map acima. Por exemplo, o primeiro P-termo A’B’CD é a primeira linha, terceira célula, correspondendo à localização do mapa A =0, B =0, C =1, D =1 .

Os outros termos do produto são colocados de maneira semelhante. Circundando os maiores grupos possíveis, dois grupos de quatro são mostrados acima.

O grupo horizontal tracejada corresponde ao termo de produto simplificado AB . O grupo vertical corresponde ao Boolean CD. Como existem dois grupos, haverá dois termos de produto no resultado Soma de Produtos de Out =AB + CD .

Dobre os cantos do mapa abaixo como se fosse um guardanapo para tornar as quatro células fisicamente adjacentes.







As quatro células acima são um grupo de quatro porque todas têm as variáveis ​​booleanas B ’ e D ’ em comum. Em outras palavras, B =0 para as quatro células, e D =0 para as quatro células.

As outras variáveis ​​ (A, C) são 0 em alguns casos, 1 em outros casos, em relação às quatro células de canto.

Assim, essas variáveis ​​ (A, C) não estão envolvidos com este grupo de quatro. Este único grupo sai do mapa como um termo de produto para o resultado simplificado: Out =B’D ’

Para o K-map abaixo, role as bordas superior e inferior em um cilindro formando oito células adjacentes.







O grupo de oito acima tem uma variável booleana em comum: B =0 . Portanto, o um grupo de oito é coberto por um termo p: B ’ . A expressão booleana original de oito termos simplifica para Out =B ’

Termos-P em mapas de 4 variáveis ​​K

A expressão booleana abaixo tem nove p-termos, três dos quais têm três booleanos em vez de quatro. A diferença é que enquanto quatro termos de produto variável booleano cobrem uma célula, os três termos p booleanos cobrem um par de células cada.







Os seis termos de produto de quatro variáveis ​​booleanas são mapeados da maneira usual acima como células únicas. Os três termos de variáveis ​​booleanas (três cada) são mapeados como pares de células, o que é mostrado acima.

Observe que estamos mapeando p-termos no K-map, não os retirando neste ponto.

Para a simplificação, formamos dois grupos de oito. As células nos cantos são compartilhadas com os dois grupos. Isto é bom. Na verdade, isso leva a uma solução melhor do que formar um grupo de oito e um grupo de quatro sem compartilhar nenhuma célula. A solução final é Out =B ’+ D’

Abaixo, mapeamos a expressão booleana não simplificada para o mapa de Karnaugh.







Acima, três das células se formam em grupos de duas células. Uma quarta célula não pode ser combinada com nada, o que geralmente acontece em problemas do “mundo real”. Nesse caso, o p-termo booleano ABCD permanece inalterado no processo de simplificação. Resultado: Out =B’C’D ’+ A’B’D’ + ABCD

Freqüentemente, há mais de uma solução de custo mínimo para um problema de simplificação. É o caso ilustrado a seguir.







Ambos os resultados acima têm quatro termos de produto de três variáveis ​​booleanas cada. Ambos são igualmente válidos com custo mínimo soluções. A diferença na solução final se deve a como as células são agrupadas conforme mostrado acima.

Uma solução de custo mínimo é um projeto lógico válido com o número mínimo de portas com o número mínimo de entradas.

Abaixo, mapeamos a equação booleana não simplificada como de costume e formamos um grupo de quatro como uma primeira etapa de simplificação. Pode não ser óbvio como coletar as células restantes.







Pegue mais três células em um grupo de quatro, no centro acima. Ainda existem duas células restantes. o método de custo mínimo para coletá-los é agrupá-los com células vizinhas em grupos de quatro, como acima, à direita.

A título de advertência, não tente formar grupos de três. Os agrupamentos devem ser potências de 2, ou seja, 1, 2, 4, 8 ...

Abaixo, temos outro exemplo de duas soluções de custo mínimo possíveis. Comece formando dois grupos de quatro após mapear as células.







As duas soluções dependem de se a única célula restante está agrupada com o primeiro ou o segundo grupo de quatro como um grupo de duas células. Essa célula pode ser tanto ABC ’ ou ABD , sua escolha.

De qualquer forma, essa célula é coberta por qualquer termo de produto booleano. Os resultados finais são mostrados acima.

Abaixo, temos um exemplo de simplificação usando o mapa de Karnaugh à esquerda ou a álgebra booleana à direita. Plot C ’ no mapa como a área de todas as células cobertas pelo endereço C =0 , as 8 células à esquerda do mapa. Em seguida, plote o único ABCD célula.

Essa única célula forma um grupo de 2 células, conforme mostrado, o que simplifica para o termo P ABD , para um resultado final de Out =C ’+ ABD .







Este (acima) é um exemplo raro de um problema de quatro variáveis ​​que pode ser reduzido com álgebra booleana sem muito trabalho, supondo que você se lembre dos teoremas.



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