Resposta Termoelétrica de um Ponto Quântico Correlacionado Acoplado a Estados de Majorana

Resumo

Estudamos teoricamente o efeito termoelétrico em um dispositivo híbrido composto por um nanofio semicondutor topológico hospedando estados ligados de Majorana (MBSs) e um ponto quântico (QD) conectado a eletrodos não magnéticos esquerdo e direito mantidos em temperaturas diferentes. As interações de Coulomb entre elétrons no QD são levadas em conta pela técnica de função de Green de não equilíbrio. Descobrimos que a mudança de sinal do poder termoelétrico, útil para detectar os MBSs, ocorrerá alterando a força de hibridização QD-MBS, o sobreposição direta entre os MBSs nas extremidades opostas do nanofio e a temperatura do sistema. Grande valor de 100% de poder termoelétrico polarizado em spin ou puro spin emerge mesmo na ausência de divisão de Zeeman no QD ou eletrodos magnéticos porque os MBSs são acoplados a elétrons de apenas uma certa direção de spin no QD devido à natureza quiral dos férmions de Majorana. Além disso, a magnitude do poder termoelétrico será obviamente aumentada pela existência dos MBSs.

Introdução

A preparação e detecção de estados ligados de Majorana (MBSs) de energia zero são de particular importância na física da matéria condensada moderna. Fundamentalmente, os MBSs são contrapartes de estado sólido de férmions de Majorana e estão associados a estatísticas não abelianas que podem permitir informação quântica topologicamente protegida com aplicações potenciais em computação quântica livre de decoerência [1–3]. Além disso, os MBSs também são promissores no design de dispositivos eletrônicos de alta eficiência, como spintrônica [4]. MBSs bem separados podem ser preparados em vários sistemas, dos quais os esquemas mais importantes incluem supercondutores não centrissimétricos [5], isolantes topológicos tridimensionais ou bidimensionais acoplados a supercondutores [6], defeitos eletrostáticos em supercondutores topológicos [7], supercondutores de onda-p [8], nanofios semicondutores [9] ou ferromagnéticos [10] com forte interação spin-órbita nativa proximitizados a supercondutores convencionais de onda-s, e junções de Josephson [11].

Quanto à detecção de MBSs, também é bastante desafiadora porque os férmions de Majorana são suas próprias antipartículas e neutros em carga devido à sua simetria partícula-buraco intrínseca. Uma variedade de experimentos foi realizada para verificar a existência de MBSs através de fenômenos como a corrente de Josephson de período 4π em junções entre supercondutores topológicos [12], platô de condutância meio-inteiro no campo coercitivo em uma estrutura híbrida composta por supercondutores topológicos e isolante quântico anômalo de Hall topológico [13], espectroscopia de tunelamento usando nanofios Rashba acoplados a supercondutores de onda-s em massa [14], e viés zero da condutância diferencial nas extremidades dos fios [14, 15]. No entanto, esses fenômenos têm outras origens físicas possíveis exceto MBSs, e esquemas alternativos então foram propostos. Um deles é a hibridização de MBSs com outras nanoestruturas, como o ponto quântico zero-dimensional (QD) no qual os níveis de energia, interações de Coulomb entre elétrons, números de partículas e força de acoplamento ao ambiente externo são todos bem controláveis [16, 17]. Em baixa temperatura, uma condutância de meio-máximo quando o nível de energia do QD está alinhado à energia de Fermi nos contatos foi teoricamente prevista como evidência clara da formação de um par de MBSs [18]. Este resultado permanece inalterado pelo ajuste do nível de energia do QD [19] e foi observado com sucesso em experimento em um QD acoplado a um nanofio InAs-Al [20]. Recentemente, esquemas ópticos baseados em estrutura de QD também foram teoricamente propostos para detectar MBSs com a ajuda da técnica de bomba-sonda óptica [21, 22]. Em sistemas baseados em QD em formato de anel ou T, os fenômenos de interferência quântica são drasticamente afetados pelos MBSs [23–25] e então podem ser usados para esquema de detecção com a ajuda, por exemplo, do efeito Fano [26–28].

Recentemente, também há alguns trabalhos sobre detecção de MBSs via efeito termoelétrico, que foca na conversão entre energias elétrica e térmica. Este velho tópico de pesquisa ganha atenção renovada devido ao rápido progresso do crescimento e fabricação de dispositivos mesoscópicos e nanoestruturas, nos quais os desempenhos termoelétricos são obviamente melhorados [29, 30]. Coletores de energia de alta eficiência baseados em QDs definidos em, por exemplo, gás de elétrons bidimensional de interface GaAs/AlGaAs foram recentemente relatados [31, 32]. O aumento do efeito termoelétrico neles pode ser atribuído à redução considerável da condutividade térmica por espalhamento de fronteira e otimização das propriedades de transporte elétrico únicas nestes sistemas de baixa dimensionalidade [30–32]. O poder termoelétrico (coeficiente de Seebeck) é a quantidade central no efeito termoelétrico. É a força de uma voltagem de circuito aberto em resposta a um gradiente de temperatura aplicado em um material sólido com portadores eletrônicos livres. Hou et al. previu teoricamente que o poder termoelétrico entre um QD e supercondutor hospedando um estado de borda de Majorana satisfaz a fórmula de Mott e genericamente não se anula usando o formalismo de Landauer-Büttiker [33]. Baseado em tal propriedade, pode-se inferir a temperatura do estado de borda de Majorana medindo a condutância diferencial e o poder termoelétrico. Leijnse demonstrou teoricamente que o acoplamento entre um QD com nível de energia ajustável e MBSs quebra a simetria partícula-buraco, e as mudanças do poder termoelétrico fornecem uma nova maneira de provar a existência de estados de Majorana [34]. As propriedades termoelétricas em tal configuração também podem ser usadas para detectar a temperatura do supercondutor e extrair informações sobre o decaimento dissipativo de MBSs [34]. Em uma estrutura com um QD acoplado a dois eletrodos, López et al. mostraram que o poder termoelétrico mudará seu sinal alterando a hibridização direta entre os MBSs, uma boa evidência da existência de MBSs [35]. A mudança de sinal do poder termoelétrico também foi subsequentemente encontrada em sistemas de um QD com dois [36] ou três [37] eletrodos. Além disso, foi demonstrado que a relação entre ruído de disparo e quantidades termoelétricas pode fornecer uma maneira puramente elétrica de detectar os MBSs neutros em carga [38, 39].

No presente artigo, propomos um sistema hibridizado composto por MBSs e um QD acoplado a eletrodos (ver Fig. 1) para estudar as propriedades do poder termoelétrico. No nanosistema que consideramos, a forte interação de Coulomb no ponto, que foi negligenciada em trabalhos anteriores [18, 22–24, 34–39], é levada em conta. Além disso, consideramos que apenas um componente de spin do spin do QD é acoplado aos MBSs devido à natureza quiral dos MBSs [40]. Descobrimos que o sinal do poder termoelétrico pode ser efetivamente revertido alterando a força de acoplamento ponto-MBSs, a hibridização direta entre os MBSs e a temperatura do sistema. Os resultantes grandes poderes termoelétricos 100% polarizados em spin e puro spin, que são as correntes 100% polarizadas em spin e puro spin correspondentes em circuito fechado, são úteis em spintrônica. O acoplamento de ambos os dois MBSs ao QD aumentará ainda mais a magnitude do poder termoelétrico, mas não mudará os resultados essenciais quando apenas um dos MBSs está acoplado ao ponto. Baseado nas medições de transporte quântico presentemente avançadas para MBSs através de QD acoplado com nanofios supercondutores topológicos, acreditamos que nossa proposta poderia ser experimentalmente testada no futuro. Adicionalmente, nossa proposta e descobertas neste trabalho podem fornecer uma excelente maneira de detectar a formação dos MBSs em QD.

Modelo e Métodos

O Hamiltoniano efetivo do QD acoplado a MBSs e aos eletrodos metálicos normais esquerdo e direito assume a seguinte forma [34, 35]:

$$ H = \sum_{k\beta\sigma}\varepsilon_{k\beta}c_{k\beta\sigma}^{\dag}c_{k\beta\sigma} +\sum_{\sigma}\varepsilon_{d}d_{\sigma}^{\dag}d_{\sigma}+Ud_{\uparrow}^{\dag} d_{\uparrow} d_{\downarrow}^{\dag} d_{\downarrow} +\sum_{k\beta\sigma}(V_{k\beta}c_{k\beta\sigma}^{\dag}d_{\sigma}+H.c)+H_{\text{MBSs}} $$ (1)

onde \(c_{k\beta \sigma }^{\dag } (c_{k\beta \sigma })\) cria (aniquila) um elétron de momento k, energia ε_kβ (sua dependência no spin é negligenciada para eletrodo de metal normal), e spin σ=↑,↓ no eletrodo β=L,R. Para o QD, \(d_{\sigma }^{\dag } (d_{\sigma })\) é o operador de criação (aniquilação) de um elétron com nível de energia ajustável por voltagem de porta ε_d, spin- σ, e interação de Coulomb intradot U. A força de acoplamento entre o QD e os contatos é descrita por V_kβ. O último termo H_MBSs na Eq. (1) representa os MBSs de energia zero localizados nas extremidades opostas do nanofio semicondutor e seu acoplamento ao QD [18]:

$$ H_{\text{MBSs}}=i\delta_{M}\eta_{1}\eta_{2}+\lambda_{1}(d_{\uparrow}-d_{\uparrow}^{\dag})\eta_{1}+i\lambda_{2}(d_{\uparrow}+d_{\uparrow}^{\dag})\eta_{2} $$ (2)

em que δ_M é a amplitude de sobreposição entre os dois MBSs com operador satisfazendo tanto \(\eta _{j}=\eta _{j}^{\dag } (j=1,2)\) quanto {η_i,η_j}=δ_i,j. A amplitude de salto entre MBSs e elétrons spin- ↑ no QD é contabilizada por λ_j. É útil escrever η_j em termos dos operadores fermiônicos regulares f como [18] \(\eta _{1}=(f^{\dag }+f)/\sqrt {2}\) e \(\eta _{2}=i(f^{\dag }-f)/\sqrt {2}\), e então, H_MBSs é reescrito como:

$$ H_{\text{MBSs}}=\delta_{M}\left(f^{\dag} f-\frac{1}{2}\right)+\frac{\lambda_{1}}{\sqrt{2}}\left(d_{\uparrow}-d_{\uparrow}^{\dag}\right)\left(f^{\dag} +f\right) -\frac{\lambda_{2}}{\sqrt{2}}(d_{\uparrow}+d_{\uparrow}^{\dag})\left(f^{\dag}-f\right) $$ (3)

Consideramos o sistema no regime de resposta linear, ou seja, sob voltagem de polarização ΔV e diferença de temperatura ΔT infinitamente pequenas entre os contatos esquerdo e direito, as correntes elétricas e de calor de cada componente de spin são obtidas como:

$$ I_{e,\sigma}=-e^{2}L_{0,\sigma}\Delta V+\frac{e}{T}L_{1,\sigma}\Delta T $$ (4)

$$ I_{h,\sigma}=eI_{1,\sigma}\Delta V-\frac{1}{T}L_{2,\sigma}\Delta T $$ (5)

onde e é a carga do elétron e T a temperatura de equilíbrio do sistema, e

$$ L_{n,\sigma}=\frac{1}{\hbar}\int (\varepsilon-\mu)^{n}\left[-\frac{\partial f(\varepsilon,\mu)}{\partial \varepsilon}\right]T_{\sigma}(\varepsilon)\frac{d\varepsilon}{2\pi} $$ (6)

onde \(\hbar \) é a constante de Planck reduzida. Definimos o potencial químico dos contatos μ=0 como ponto zero de energia. A função de distribuição de Fermi é dada por f(ε,μ)=1/{1+exp[(ε−μ)/k_BT]} com k_B sendo a constante de Boltzmann. O coeficiente de transmissão T_σ(ε) é calculado com a ajuda da função de Green retardada como:

$$ T_{\sigma}(\varepsilon)=\frac{\Gamma_{L}\Gamma_{R}}{\Gamma_{L}+\Gamma_{R}} [-2\text{Im}G_{\sigma}^{r}(\varepsilon)] $$ (7)

onde \(\Gamma _{L(R)}=2\pi \sum _{k}|V_{kL(R)}|^{2}\delta [\varepsilon -\varepsilon _{kL(R)}]\) é a função de largura de linha. Aplicamos a técnica padrão de equação de movimento para obter a função de Green. As funções de Green de ordem superior são truncadas seguindo o esquema 2 na ref. [39], ou seja, negligencia o tunelamento simultâneo do elétron de spin oposto. Após alguns cálculos diretos, a função de Green retardada de spin-up é dada por:

$$ G_{\uparrow}^{r}(\varepsilon)=\frac{\varepsilon_{-}-\Sigma^{M}_{1}-U\left\{1-< n_{\downarrow}>\left[1-(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2})^{2}\tilde{B}\tilde{B}_{U}\right]\right\}}{\left(\varepsilon_{-}-\Sigma^{M}_{0}\right)\left(\varepsilon_{-}-U-\Sigma^{M}_{1}\right)} $$ (8)

onde as auto-energias induzidas por MBSs

$$ \Sigma^{M}_{0}=B_{1}+\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}\right)^{2}B\tilde{B} $$ (9)

e

$$ \Sigma^{M}_{1}=B_{1}+\left(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}\right)^{2}B\tilde{B}_{U} $$ (10)

com

$$ B=\frac{\varepsilon}{\varepsilon^{2}-\delta_{M}^{2}} $$ (11)

$$ B_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon-\delta_{M}}+\frac{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon+\delta_{M}}\right) $$ (12)

$$ \tilde{B}=\frac{B}{\varepsilon_{+}+B_{2}} $$ (13)

$$ \tilde{B}_{U}=\frac{B}{\varepsilon_{+}+U-B_{2}} $$ (14)

em que

$$ B_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon+\delta_{M}}+\frac{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}{\varepsilon-\delta_{M}}\right) $$ (15)

e ε_±=ε±ε_d+i(Γ_L+Γ_R)/2. Na ausência de hibridização ponto-MBSs (λ₁=λ₂=0), temos \(\Sigma ^{M}_{0,1}=0\) e \(G_{\uparrow }^{r}(\varepsilon)\) recupera a da ref. [39]. É também a função de Green retardada de spin-down alterando n_↓ para n_↑. O número de ocupação é calculado auto-consistentemente a partir de:

$$ n_{\sigma}=\int \frac{d\varepsilon}{2\pi}\frac{\Gamma_{L}f_{L}(\varepsilon)+\Gamma_{R}f_{R}(\varepsilon)}{\Gamma_{L}+\Gamma_{R}}[-2\text{Im}G_{\sigma}^{r}(\varepsilon)] $$ (16)

onde f_L/R(ε) é a função de distribuição de Fermi no eletrodo esquerdo/direito.

Uma vez obtida a função de transmissão da função de Green, a condutância elétrica e o poder termoelétrico (coeficiente de Seebeck) de cada componente de spin são dados por G_σ=e²L_0,σ e S_σ=−L_1,σ/(eTL_0,σ), respectivamente.

Resultados e Discussões

A seguir, assumimos acoplamento simétrico entre o QD e eletrodos, e definimos Γ=2Γ_L=2Γ_R=1 como unidade de energia. A interação de Coulomb intradot é fixada como U=10Γ. Primeiro estudamos o caso do QD acoplado apenas ao MBS-1 com diferentes forças de hibridização λ₁ na Fig. 2 definindo λ₂=0. Para λ₁=0, a condutância de cada componente de spin na Fig. 2a desenvolve dois picos localizados respectivamente em ε_d=−μ e −μ−U. Note que agora o QD está livre de polarização de spin induzida pelo MBS, e a condutância dos dois componentes de spin é igual entre si (G_↑=G_↓), correspondentemente. Ligando a hibridização entre o MBS e o QD (λ₁≠0), a magnitude de G_↑ é monótonamente suprimida como mostrado na Fig. 2a, o que é consistente com resultados anteriores [18, 34, 35]. O valor de G_↓, no entanto, é quase inalterado mesmo o número de ocupação n_↓ sendo alterado por λ₁ devido à presença de interação de Coulomb intradot (não mostrado na figura). Enquanto isso, a posição e largura dos picos em G_↑ são ligeiramente modificadas pelo valor de λ₁ devido à renormalização de nível pelo acoplamento ponto-Majorana [18, 34, 35]. A configuração da condutância total G=G_↑+G_↓ na Fig. 2c se assemelha à de G_↑.

O poder termoelétrico S_↑ na Fig. 2b mostra a configuração típica de dente de serra e tem três pontos zero individualmente em ε_d=μ,−U/2, e μ−U [41, 42]. Desenvolve um par de picos agudos com sinais opostos em cada um dos dois estados ressonantes (ε_d=μ,μ−U) e muda de sinal sempre que ε_d passa por cada ponto zero. Na ausência de hibridização ponto-MBSs (λ₁=0) como indicado pela linha sólida preta na Fig. 2b, S_↑ é positivo (negativo) quando ε_d está abaixo (acima) do ponto zero, pois os principais portadores são elétrons (buracos). Com o aumento de λ₁, o poder termoelétrico spin-down S_↓ é inalterado e o valor absoluto de S_↑ primeiro é suprimido e depois aumentado. Para λ₁ suficientemente grande, S_↑ muda seu sinal como mostrado na Fig. 2b. Com λ₁ ainda mais aumentado, o valor absoluto de S_↑ excede o de S_↓ e o poder termoelétrico total S=S_↑+S_↓ também muda seu sinal. Tal fenômeno também foi encontrado anteriormente no modelo sem spin [35–37]. De fato, a mudança de sinal do poder termoelétrico em dispositivo baseado em QD sem MBSs foi atribuída a várias causas, como temperatura de equilíbrio do sistema [29], momento magnético dos eletrodos [43], interação de Coulomb [43, 44], força de acoplamento entre QDs, campo magnético aplicado, efeito de interferência quântica, ou fluxo magnético penetrando através de QDs múltiplos [45, 46]. Os mecanismos acima são bastante diferentes do caso presente, e a mudança de sinal do poder termoelétrico alterando a hibridização entre o QD e os MBSs é útil para detectar os MBSs [35–37].

A Figura 3a, b mostra a condutância total G e termopower S variando com o nível do ponto ε_d para diferentes valores da temperatura T. O valor do pico de G é primeiro aumentado e depois suprimido pelo aumento da temperatura como mostrado na Fig. 3a. A magnitude do poder termoelétrico na Fig. 3b, no entanto, é principalmente aumentada pelo aumento da temperatura, pois há mais elétrons (buracos) excitados acima (abaixo) do potencial químico. Além disso, S muda seu sinal para os casos de T=0,1 e 0,2 como indicado pelas linhas rosa e verde na Fig. 3b, o que é semelhante ao caso do efeito termoelétrico em estrutura baseada em QD sem MBSs. Para T=0,2Γ, o valor do pico de S pode chegar a 2k_B/e, que é uma ordem maior que a de T=0,001. De fato, verificamos que a magnitude do poder termoelétrico pode ser ainda mais aumentada pelo aumento da temperatura. No presente artigo, no entanto, focamos na mudança de sinal de S em temperatura relativamente baixa, que geralmente é o caso dos MBSs formados em experimentos. A Figura 3c, d apresenta a condutância e o poder termoelétrico para diferentes valores de hibridização direta dos dois MBSs nas extremidades opostas do nanofio em T=0,025Γ fixo. O valor do pico da condutância na Fig. 3c é monótonamente aumentado pelo aumento de δ_M, o que é consistente com os resultados encontrados por López et al. [35]. O poder termoelétrico na Fig. 3d muda seu sinal para 0,03Γ<δ_M<0,05Γ, que é maior que a temperatura T=0,025Γ. Na ref. [32], eles encontraram que o poder termoelétrico muda seu sinal em cerca de δ_M≈k_BT no modelo sem spin. No presente artigo, a mudança de sinal de S ocorre em δ_M relativamente maior, pois os MBSs são acoplados a elétrons de apenas uma direção de spin. Além disso, o valor do pico do poder termoelétrico também pode ser aumentado pelo aumento de δ_M.